Розглянемо залежність амплітуди А вимушених коливань від частоти w. Хутра-нические і електромагнітні коливання будемо розглядати одночасно, називаючи коливну величину або зміщенням (х) коливається тіла з положення равнове-ся, або зарядом (Q) конденсатора.
З формули (18.52) випливає, що ампли-туди А зміщення (заряду) має максимум при деякій частоті wрез .. званої резонан-сної. Таким чином, щоб визначити резонансну частотуwрез. потрібно знайти максимум функції (18.52), або, що те ж саме, мінімум подкоренного вираження. Продифференцировав підкорити-ве висловлю-ня по w і прирівнявши його нулю, отримаємо умову, що визначає wрез. :
Це рівність виконується при w = 0,, у яких тільки поклади-тельное значення має фізичний сенс. Отже, резонансна частота
Резонансом (відповідно механічні-ким або електричним) називається явище різкого зростання амплітуди вимушених коливань при наближенні частоти винуж-дає сили (частоти змушує пере-ного напруги) до частоти, чи майже власній частоті коливальної системи, При d 2 < На ріс.18.12 приведе-ни залежно ампли-туди вимушених ко-лебанія від частоти при різних значеннях d. З (18.54) і (18.55) ви-тека, що чим менше d. тим вище і правіше лежить максимум даної кривої. Якщо w ®0, то всі криві (див. Також (18.52)) досягають одного і того ж, відмінного від нуля, граничного значення х0 / w0 2. яке називають статичним відхиленням. У разі механічних коливань х0 / w0 2 = F0 / (mw0 2), а в разі електромагнітних - Um / (Lw0 2) Якщо w® ¥, то всі криві асимптотично наближаються до нуля. Наведена сукупність кривих називається резонансними кривими. З формули (18.55) випливає, що при малому загасанні (d 2 < де q - добротність коливальної системи (див. (18.44)), х0 / w0 2 - розглянуте вище статичне відхилення. Звідси випливає, що добротність Q характеризує резонансні властивості коливальної системи: чим більше Q, тим більше Арезу .. З виразу tgj = 2dw / (w0 2 -w 2) (див. (18.53)) випливає, що якщо загасання в системі відсутній (d = 0), то тільки в цьому випадку коливання і змушує сила (прило-женное змінну напругу) мають однакові фази; у всіх інших випадках j¹0. Залежність j від w при різних коефі-цієнт d графічно представлена на ріс.18.13, з якого випливає, що при изме-нении w змінюється і зсув фаз j. З фор-мули (18.53) випливає, що при w = 0 j = 0, а при w = w0 незалежно від значення коефіцієнта загасання j = p / 2, тобто сила (напруга) випереджає по фазі коливання на p / 2. При подальшому збільшенні w зрушення фаз возрас-тане і при w >> w0j®p. тобто фаза коливань майже протилежна фазі зовнішньої сили (змінної напруги). Сімейство кри-вих, зображених на ріс.18.13, називається фазовими резонансними кривими. Явища резонансу можуть бути як шкідливими, так і корисними. Наприклад, при конструюванні машин і різного роду споруд необхідно, щоб власна частота коливань їх не збігалася з частотою можливих зовнішніх впливів в іншому випадку виникнуть вібрації, які можуть викликати серйозні руйнування. З іншого боку, наявність резонансу дозволяє виявити навіть дуже слабкі коливання, якщо їх частота збігається з частотою власних коливань приладу. Так радіотехніка, прикладна акустика, електротехніка використовують явище резонансу. 18.10. Змінний струм Змінний струм - це усталені вимушені електромагнітні коливання відбуваються в ланцюзі, що містить резистор, котушку індуктивності і конденсатор. Змінний струм можна вважати квазістаціо-Нарнії. якщо зміни миттєвих зна-ний сили струму у всіх перетинах ланцюга прак-тично однакові і відбуваються досить повільно в порівнянні з електромагніт-ними обурення, що поширюються по ланцюгу зі швидкістю, яка дорівнює швидкості світла. Для миттєвих значень квазістаціонарних то-ков виконуються закон Ома і витік ющіе з нього правила Кірхгофа, які будуть вико-льзовани стосовно пере-менним струмів. Розглянемо послідовно процеси, що відбуваються на ділянці ланцюга, содер-жащем резистор, котушку індуктивності і конденсатор-тор, до кінців якого прикладено змін-ве напруга де Um - амплітуда напруги. 1. Змінний струм, поточний через резистор сопротівленіемR (L ®0, С ®0) (ріс.18.14, а). При виконанні умови квазістаціонарності струм через резистор визна-ляется законом Ома: де амплітуда сили струму. Для наочного зображення співвідношень між змінними струмами і напруги-нями скористаємося методом векторних діаграм. На ріс.18.14, б дана векторна 2. Змінний струм, поточний через котушку індуктівностьюL (R ®0, С ®0) іс.18.15, а). Якщо в ланцюзі докладено змін-ве напруга (18.56), то в ній потече змінний струм, в результаті чого виникне е.р.с. самоіндукції Тоді закон Ома для рас-розглядати ділянки ланцюга має вигляд Так як зовнішня напруга докладено до котушки індуктивності, то є падіння напруги на котушці. З рівняння (18.57) випливає, що після інтегрування, враховуючи, що постійна інтегрування дорівнює нулю (так як відсутня постійна складова струму), отримаємо називається реактивним індуктивним соп-ротівленіем (або індуктивним сопротив-ленням). З виразу (18.60) випливає, що для постійного струму (w = 0) котушка індуктив-ності не має опору. Підстановка значення Um = wLIm в вираз (18.57) з урахуванням (18.58) призводить до наступного значення падіння напруги на котушки індуктивності: Порівняння виразів (18.59) і (18.61) призводить до висновку, що падіння напруги 3. Змінний струм, поточний через конденсатор ємністю С (R ®0, L ®0). (Ріс.18.16, а). Якщо змінна напруга (18.56) докладено до конденсато-ру, то він весь час перезаряджати-ться, і в ланцюзі тече змінний струм. Так як все зовнішнє напруга докладено до кондом-саторі, а опором підщепі-дящих проводів можна знехтувати, то називається реактивним ємнісним опору-опором (або ємнісним опираючись-ням). Для постійного струму (w = 0) RC = ¥, тобто постійний струм через конденсатор текти не може. Падіння напруги на конденсаторі Порівняння виразів (18.62) і (18.63) призводить до висновку, що падіння напруги UC відстає по фазі від поточного через конденсатор струму I на p / 2. Це показано на векторній діаграмі (рис.18 / 16, б). 4. Ланцюг змінного струму, що містить послідовно включені резистор, ка-тушку індуктивності і конденсатор. На ріс.18.17, а представлений ділянку ланцюга, содер-жащій резистор опору-опором R. котушку індуктивністю L і конденсатор їм-кісткою С. до кінців якого прикладена змінна напруга (18.56). У ланцюзі виникне пере-менний струм, який викличе на всіх елементах ланцюга відповідними-ющие падіння напруги UR. UL і Uc. На ріс.18.17, б представлена векторна діаграма амплітуд падінь напруг на резисторі (UR) »котушці (UL) і конденсаторі (UC). Амплітуда Um прикладеної напруги повинна бути дорівнює векторній сумі амплітуд цих падінь напруг. Як видно з ріс.18.17, б. кут j визначає різницю фаз між напругою і силою струму. З малюнка слід, що З прямокутного трикутника одержуємо. звідки амплітуда сили струму має значення Отже, якщо напруга в ланцюзі змінюється за законом U = Um coswt. то в ланцюзі тече струм де j та Im визначаються відповідно формулами (18.64) і (18.65). величина називається повним опором ланцюга. а величина Розглянемо окремий випадок, коли в ланцюзі відсутній конденсатор. В даному випадку падіння напруги UR і UL в сумі дорівнюють додається напруги U. Векторна діаграма для даного випадку представлена на ріс.18.18, з якого випливає, що Вирази (18.64) і (18.65) збігаються з (18.68), якщо в них 1 / (w С) = 0, тобто С = ¥. Отже, відсутність конденсатора в ланцюзі означає С = ¥, а не С = 0. Даний висновок можна трактувати наступним чином: зближуючи обкладання конденсатора до їх повного зіткнення, отримаємо ланцюг, в якій конденсатор відсутній (расстоя-ня між обкладинками прагне до нуля, а ємність - до нескінченності). Якщо в колі змінного струму, що містить послідовно включені конденсатор, котушку індуктивності і резистор (див. Ріс.18.17), то кут зсуву фаз між струмом і напруги-ням (18.64) звертається в нуль (j = 0), тобто зміни струму і напруги відбуваються синфазно. Умові (18.69) задовольняє частота В даному випадку повний опір ланцюга Z (18.67) стає мінімальним, рівним активному опору R ланцюга, і струм в ланцюзі визначається цим опираючись-ням, приймаючи максимальні (можливі при даному Um) значення. При цьому падіння напруги на активному опорі дорівнює зовнішньому напрузі, прило-женному до ланцюга (UR = U), а падіння напруги на конденсаторі (UC) і котушці індуктивності (UL) однакові по амплітуді і протидії положную по фазі. Це явище називається резонансом напруг (послідовник-ним резонансом), а частота (18.70) - резону-НСНО частотою. Векторна діаграма для резонансу напруг при-ведена на ріс.18.19, а залежність амплітуди сили струму від w вже була дана на ріс.18.12. У разі резонансу напруг Підставивши в цю формулу значення резонансної частоти і амплітуди напруг на котушки індуктивності і конденсаторі, отримаємо де q - добротність контуру, яка визначається виразом. Так як добротність звичайних коливальних контурів більше одиниці, то напруга як на котушки індуктивності, так і на конденсаторі перевищує напруга, прикладена до ланцюга. Тому явище резонансу напруг використовується в техніці для посилення колі-банія напруги будь-якої певної частоти. Наприклад, в разі резонан-са на конденсаторі можна одержати напругу з амплітудою QUm (Q в даному випадку - добротність контуру, яка може бути значно більше Um) .Це посилення напруги можливо тільки для вузького інтервалу частот поблизу резонанс-ної частоти контуру, що дозволяє виділити з багатьох сигналів одне коливання певної часто-ти, тобто на радіоприймачі налаштуватися на потрібну довжину хвилі. Явище резонансу напруг необхідно враховувати при розрахунку ізоляції елект-рических ліній, що містять конденсатори і котушки індуктивності, так як інакше може спостерігатися їх пробій. Розглянемо ланцюг змінного струму, содер-жащую паралельно включені кондом-Сатор ємністю С і котушку індуктивністю L (ріс.18.20). Для простоти допус-тім, що активний опір обох гілок настільки мало, що їм можна пренеб-мова. Якщо прикладений-ве напруга змінюється за законом U = Umcoswt. то, згідно з формулою (18.66), в галузі 1С 2течет ток амплітуда якого визначається з висловлю-ня (18.65) за умови R = 0 і L = 0: Початкова фаза j1 цього струму за формулою (18.64) визначається рівністю Аналогічно, сила струму в галузі 1L2 амплітуда якого визначається з (18.65) за умови R = 0 і С = ¥: Початкова фаза j2 цього струму (див. (18.64)) З порівняння виразів (18.71) і (18.72) випливає, що різниця фаз струмів в гілках 1С2 і 1L2 дорівнює j1 -j2 = p, тобто. струми в гілках протии-воположни по фазі. Амплітуда сили струму в зовнішньому (неразветвленной) ланцюга Резонансом струмів (паралельним резонансом) називаетсяявленіе різкого зменшення амплітуди сили струму в зовнішньому ланцюзі, що живить паралельно включені конденсатор і Катуша-ку індуктивності, при наближенні частоти w прикладеного напря-вання до резонанс-ної частоті wрез .. В даному випадку для резонансної частоти отримали таке ж значення, як і при резонансі напруг. Амплітуда сили струму Im виявилася дорівнює нулю тому, що активним опираючись-ням контуру знехтували. Якщо врахувати опору-ня R, то різниця фаз j1-j2 не дорівнюватиме p, тому при резонансі струмів амплітуда сили струму Im буде відмінна від нуля, але прийме найменше можливе значення. Таким чином, при резонансі струмів у зовнішній ланцюга струми I1 і I2 компенсуються і сила струму I в підвідних проводах досягає минима-льного значення, обумовленого тільки струмом через резистор. При резонансі струмів сили струмів I1 і I2 можуть значно перевищувати силу струму I. Розглянутий контур має великий опір змінному струмі з ча-простотою, близькою до резонансної. Тому це властивість резонансу струмів використовується в резонансних підсилювачах, що дозволяють виділяти одне певне коливання з сигналу складної форми. Крім того, резонанс струмів використовується в індукційних печах, де нагрівання металів проводиться вихровими струмами. У них ємність конденсатора, включеного паралельно нагрівальної котушці, підбирає-ся так, щоб при частоті генератора вийшов резонанс струмів, в результаті чого сила струму черезнагрівальну котушку буде набагато більше, ніж сила струму в підбиваючи-щих проводах. Потужність, що виділяється в ланцюзі Миттєве значення потужності змін-ного струму дорівнює добутку миттєвих значень напруги і сили струму: Практичний інтерес представляє не миттєве значення потужності, а її середнє значення за період коливання. Враховуючи що . . отримаємо З векторної діаграми (див. Ріс.18.17) слід, що Um cosj = RIm. Тому Таку ж потужність розвиває постійний струм. називаються відповідно діючими (або ефективними) значеннями струму і на-напруги. Все амперметри та вольтметри градуюються за діючими значеннями струму і напруги. З огляду на діючі значення струму інапряженія, вираженіесредней потужності (152.1) можнозапісать у вигляді де множник cosj називається коефіцієнтом-те потужності. Контрольні питання 1. Назвіть характерні ознаки резонансу напруг, резонансу струмів. Наведіть графіки резонансу струмів та напруг. 2. Як обчислити потужність, що виділяється в колі змінного струму? Що називається коефіцієнтом потужності? Формула (18.74) показує, що потужність, що виділяється в колі змінного струму, в загальному випадку залежить не тільки від сили струму і напруги, а й від зсуву фаз між ними. Якщо в ланцюзі реактивний опір відсутній, то cosj = l і Р = IU. Якщо ланцюг містить тільки реактивний опір (R = 0), то cosj = 0 і середня мощ-ність дорівнює нулю, якими б великими не були струм і напруга. Якщо cosj має значення, істотно менші одиниці, то для передачі заданої потужності при даному напрузі генератора потрібно збільшувати силу струму I. що призведе або до виділення джоулева теплоти, або зажадає збільшен-ня перетину проводів, що підвищує вар-тість ліній електропередачі. Тому на практиці завжди прагнуть збільшити cosj. найменше допустиме значення якого для промислових уста-новок становить приблизно 0,85.
діаграма амплітудних значень струму Im і напруги Um на резисторі (зрушення фаз
між Im і Um дорівнює нулю).
UL випереджає по фазі струм I. поточний через котушку, на p / 2, що і показано на
векторній діаграмі (ріс.18.15, б).Схожі статті