Мабуть найважливішою умовою рівноваги в зірках можна вважати умову механічної рівноваги, тобто рівності сил, що діють на будь-який, довільно виділений обсяг в зірці. Хоча в абсолютному значенні ця умова не може справедливим - практично будь-яка зірка еволюціонує в тій чи іншій мірі, тобто змінює свій радіус, а значить існує сила, яка виконує цю роботу. Однак характерний час такого ізмененяются в більшості випадків така велика (млрд. Років), що з будь-якої розумної точністю умова рівноваги слід вважати виконаним. (Винятки становлять "вибухові" стадії еволюції зірки, які вельми цікаві, але дуже далекі від розуміння).
У класичній теорії еволюції приймаються в розрахунок тільки дві сили, рівновага між якими і називають гідростатичним. Перша - це тиск на виділений обсяг з боку інших елементів газу (тобто термодинамічна тиск самої плазми), а друга - сила гравітаційного тяжіння елементів обсягу з боку інших елементів, що становлять зірку. Очевидно, що саме ці сили розглядаються в гідростатиці, єдиною відмінністю є те, що поле сил тяжіння в гідростатиці зазвичай передбачається зовнішнім.
Для отримання необхідного рівняння просто прирівняємо всі сили тиску P. діючі кожен, досить маленький щоб вважатися плоским елемент поверхні dS. навколишнього виділений обсяг V. і суму сил тяжіння кожного елемента маси dm. тобто
Тепер інтеграл по поверхні слід замінити на інтеграл за обсягом. Така заміна виконується за допомогою теореми Гаусса-Остроградського, сенс якої полягає в можливості розбити наш обсяг на безліч маленких еелементіков "зручною" форми, наприклад циліндрів (необов'язково кругових) з віссю, спрямованої уздовж градієнта тиску P. Тоді інтеграл по поверхні може бути обчислений як інтеграл за обсягом, обмеженому цією поверхнею, але вже від градієнта тиску (для маленького циліндрів це не важко довести). Наше умова переходить в
Але оскільки ми ніяк не обмежували вибір нашого обсягу, за яким ведеться інтегрування, то єдиний спосіб гарантувати виконання цієї умови - вимагати, щоб підінтегральний вираз дорівнювало нулю в будь-якій точці зірки. Тоді виходить векторне диференціальне рівняння, що виражає гідростатичний рівновагу зірки.
Дане рівняння справедливо для будь-якого випадку гідростатичного рівноваги, включаючи, наприклад, неізотропное тиск (потрібно тільки правильно розуміти операцію градієнта від тензора тиску). Однак в разі зірок, логічно скористатися припущенням про сферичної симетрії зірки, тим більше, що поки не видно сил, які могли б порушувати таку симетрію. У цьому випадку існує вираз для гравітаційного потенціалу (і його градієнта) через масу шарів mr. укладених в сфері під розглянутої точкою - см. рівняння Пуассона. Крім того, припущення про сферичної симетрії дозволяє записати диференціальні рівняння для похідних по радіусу, оскільки всі інші похідні, що входять в градієнт, просто дорівнюють нулю. В результаті, рівняння приймає вид
з додаванням відповідного рівняння, що визначає величину mr
Легко зрозуміти, що з цих двох рівнянь можна виключити одну невідому, наприклад mr. Правда, порядок рівняння при цьому підвищиться до другого, а невідомих залишиться все одно дві.
(До цього рівняння найпростіше прийти відразу з векторного умови рівноваги, застосовуючи оператор градієнта і використовуючи рівняння Пуассона
Потрібно тільки не забути, що під зовнішнім градієнтом в лівій частині варто векторна функція, тобто він означає дивергенцію - звідси і множник r 2 в запису рівняння в сферичних координатах).