Плани другого порядку
Процес оптимізації часто призводить в область факторного простору, де кривизна поверхні відгуку велика і внаслідок цього не може бути описана многочленом першого порядку. Для адекватного математичного опису в цьому випадку потрібно многочлен більш високого порядку. В даний час найбільш широко для опису області, близької до екстремуму, застосовують поліноми другого порядку.
Це пояснюється наступним:
- є добре розроблені плани другого порядку;
- поверхні другого порядку легко піддаються систематизації і, отже, визначення екстремальної точки;
- подальше зростання порядку полінома призводить до значного збільшення числа дослідів.
Для опису поверхні відгуку поліномами другого порядку незалежні фактори в планах експерименту повинні приймати не менше трьох різних значень. Трирівневий план, в якому реалізовані всі можливі комбінації з k факторів на трьох рівнях, є повний факторний експеримент 3 k. Повний факторний експеримент 3 k вимагає занадто великого числа дослідів, набагато перевищує число визначених коефіцієнтів l рівняння регресії вже для k> 2 (табл. 8.1).
Кількість дослідів N і коефіцієнтів рівняння регресії l
при різній кількості факторів
Скоротити число дослідів можна, якщо скористатися композиційним плануванням. Ядро таких планів складає ПФЕ 2 k при k <5 или полуреплика от него при k ³ 5. Затем к нему добавляют 2k звездных точек, расположенных на координатных осях факторного пространства, и увеличивают число экспериментов в центре плана. Отсюда и произошло название метода – центральное композиционное планирование (ЦКП). Пример матрицы планирования эксперимента второго порядка для двух факторов приведен в табл. 8.2.
Композиційний план 2-го порядку для 2 факторів
Повний факторний експеримент
Досліди в зіркових точках
Досліди в центрі плану
Кількість дослідів в матриці композиційного плану другого порядку визначається за формулами
де 2 k - число дослідів, що утворюють повний факторний експеримент (ядро плану); 2k - число так званих зоряних точок в факторному просторі, мають координати (± a, 0, 0. 0); (0, ± a, 0. 0); ...; (0, 0. ± a); n0 - досліди в центрі плану, тобто в точці факторного простору з координатами (0, 0. 0). Тут a - величина, яка називається зоряним плечем. Геометрично план другого порядку для двох факторів можна представити таким чином (рис. 8.1).
Розрізняють два види композиційного планування - ортогональное і ротатабельное.
Мал. 8.1. Композиційний план 2-го порядку для k = 2