Рейтинг: 5/5
Дотичній площиною до поверхні в її точці $ M_0 $ (точка дотику) називається площина, яка містить в собі всі дотичні до кривих, проведеним на поверхні через цю точку.
Нормаллю до поверхні називається пряма, перпендикулярна до дотичної площини і проходить через точку дотику.
Якщо рівняння поверхні має вигляд $$ F (x, y, z) = 0, $$ то рівняння дотичної площини в точці $ M_0 (x_0, y_0, z_0) $ є $$ F_x '(x_0, y_0, z_0) (x -x_0) + F_y '(x_0, y_0, z_0) (y-y_0) + F_z' (x_0, y_0, z_0) (z-z_0) = 0. $$
У разі завдання поверхні в явній формі $$ z = f (x, y) $$ рівняння дотичної площини в точці $ M_0 (x_0, y_0, z_0) $ має вигляд $$ z-z_0 = f_x '(x_0, y_0) ( x-x_0) + f_y '(x_0, y_0) (y-y_0), $$ а рівняння нормалі $$ \ frac = \ frac = \ frac. $$
7.229. а) Знайти рівняння дотичної площини і нормалі до поверхні $ z = \ sin x \ cos y $ в точці $ (\ pi / 4, \ pi / 4, \ pi / 4). $
Для поверхні $$ z = f (x, y) $$ рівняння дотичної площини в точці $ M_0 (x_0, y_0, z_0) $ має вигляд $$ z-z_0 = f_x '(x_0, y_0) (x-x_0) + f_y '(x_0, y_0) (y-y_0), $$ а рівняння нормалі $$ \ frac = \ frac = \ frac. $$
Знаходимо приватні похідні:
$ Z'_x = (\ sin x \ cos y) '_ x = \ cos x \ cos y; $
$ Z'_y = (\ sin x \ cos y) '_ y = - \ sin x \ sin y; $
Таким чином, рівняння дотичної площини: $$ z- \ frac = \ frac (x- \ frac) - \ frac (y- \ frac) \ Rightarrow $$ $$ \ fracx - \ fracy-z + \ frac = 0. $ $
7.232. Для поверхні $ z = 4x-xy + y ^ 2 $ знайти рівняння дотичної площини, паралельної площині $ 4x + y + 2z + 9 = 0. $
Для поверхні $$ z = f (x, y) $$ рівняння дотичної площини в точці $ M_0 (x_0, y_0, z_0) $ має вигляд $$ z-z_0 = f_x '(x_0, y_0) (x-x_0) + f_y '(x_0, y_0) (y-y_0). $$
Знаходимо приватні похідні:
Звідси знаходимо рівняння дотичної площини: $$ z-z_0 = (4-y_0) (x-x_0) + (- x_0 + 2y_0) (y-y_0) \ Rightarrow $$ $$ (4-y_0) (x-x_0) + (- x_0 + 2y_0) (y-y_0) -z + z_0 = 0. $$
Знайдемо точку поверхні $ M (x_0, y_0, x_0) $ дотична площину до якої буде паралельна площині $ 4x + y + 2z + 9 = 0: $
Таким чином, рівняння дотичної площини: $$ z-11 = (4-6) (x- \ frac) + (- \ frac + 2 \ cdot 6) (y-6) \ Rightarrow $$ $$ z-11 = -2 (x- \ frac) - \ frac (y-6) \ Rightarrow 2x + \ fracy + z-11-25-3 = 0 \ Rightarrow $$ $$ \ Rightarrow4x + y + 2z-78 = 0. $$
7.233. а) Знайти рівняння дотичної площини і нормалі до поверхні $ x (y + z) (xy-z) + 8 = 0 $ в точці $ (2, 1, 3). $
Для поверхні $$ F (x, y, z) = 0, $$ рівняння дотичної площини в точці $ M_0 (x_0, y_0, z_0) $ є $$ F_x '(x_0, y_0, z_0) (x-x_0) + F_y '(x_0, y_0, z_0) (y-y_0) + F_z' (x_0, y_0, z_0) (z-z_0) = 0. $$
$ F (x, y, z) = x (y + z) (xyz) + 8 = x ^ 2y ^ 2-xyz + x ^ 2yz-xz ^ 2 + 8 = 0 $
Знаходимо приватні похідні:
Звідси знаходимо рівняння дотичної площини: $$ 4 (x-2) +14 (y-1) -10 (z-3) = 0 \ Rightarrow 4x + 14y-10z + 8. $$
7.229. б) Знайти рівняння дотичної площини і нормалі до поверхні $ z = e ^ $ в точці $ (1, \ pi / 1 / e). $
7.230. Знайти відстань від початку координат до дотичної площини до поверхні $ z = y tg \ frac $ в точці $ \ left (\ frac \ right). $
7.233. б) Знайти рівняння дотичної площини і нормалі до поверхні $ 2 ^ + 2 ^ = 8 $ в точці $ (2, 2, 1). $
7.234. Для поверхні $ x ^ 2-z ^ 2-2x + 6y = 4 $ знайти рівняння нормалі, паралельної прямої $ \ frac = \ frac = \ frac. $