Остаточний член квадратурної формули Сімпсона дорівнює, де або
Призначення сервісу. Сервіс призначений для обчислення певного інтеграла за формулою Сімпсона в онлайн режимі (див. Приклад).
Висновок формули Сімпсона
з формули
при n = 2 отримуємо
Оскільки x2 -x0 = 2h, то маємо. (10)
Це формула Сімпсона. Геометрично це означає, що криву y = f (x) ми замінюємо параболою y = L2 (x), що проходить через три точки: M0 (x0, y0), M1 (x1, y1), M2 (x2, y2).
Остаточний член формули Сімпсона дорівнює
Припустимо, що . Отримаємо явне вираз для R. Фіксуючи середню точку x1 і розглядаючи R = R (h) як функцію h, матимемо:
.
Звідси диференціюючи послідовно три рази по h. отримаємо
остаточно маємо
,
де. Крім того, маємо: R (0) = 0, R '(0) = 0. R '' (0) = 0. Тепер, послідовно інтегруючи R '' '(h), використовуючи теорему про повну загальну середню, отримаємо
Таким чином, залишковий член квадратурної формули Сімпсона дорівнює
, де. (11)
Отже, формула Сімпсона є точною для поліномів не тільки другий, але і третього ступеня.
Отримаємо тепер формулу Сімпсона для довільного інтервалу [a, b]. Нехай n = 2m є парне число вузлів сітки,
і yi = f (xi). Застосовуючи формулу Сімпсона (10) до кожного подвоєному проміжку довжини 2h. матимемо
Звідси отримуємо загальну формулу Сімпсона
.(12)
Помилка для кожного подвоєного проміжку дається формулою (11).
Оскільки число подвоєних проміжків одно m. то
З урахуванням безперервності y IV на [a, b], можна знайти точку ε, таку, що.
Тому будемо мати
. (13)
Якщо задана гранично допустима похибка ε, то, позначивши, отримаємо для визначення кроку h
.
На практиці обчислення R за формулою (13) буває скрутним. В цьому випадку можна поступити наступним чином. Обчислюємо інтеграл I (h) = I1 з кроком h. I (2h) = I2 з кроком 2h і т.д. і обчислюємо похибка δ:
δ = | Ik -Ik-1 | ≤ ε. (14)
Якщо нерівність (14) виконується (ε - задана похибка), то за оцінку інтеграла беруть Ik = I (k · h).
Зауваження. Якщо сітка нерівномірна, то формула Сімпсона набуває такого вигляду (отримати самостійно)
.
Нехай число вузлів n = 2m (парне). тоді
де hi = xi -xi-1.
Приклад. За допомогою формули Сімпсона обчислити інтеграл, прийнявши n = 10.
Рішення: Маємо 2m = 10. Звідси. Результати обчислень дані в таблиці: