транскрипт
1. ПОТЕНЦІАЛ. РОБОТА СИЛ ЕЛЕКТРОСТАТИЧНОГО ПОЛЯ Потенціал, який створюється точковим зарядом в точці A, яка знаходиться на, якщо покласти потенціал на нескінченності рівним нулю: φ (). Потенціал, який створюється в точці A довільним зарядом, можна знайти на підставі принципу суперпозиції (див. Приклад.). Знаючи розподіл потенціалу φ (x, y, z), можна знайти складові напруженості, користуючись диференціальним зв'язком потенціалу, і напруженості (див. Приклад.). Потенціал і різниця потенціалів можна розрахувати, знаючи напруженість електростатичного поля, так як вони взаємопов'язані. відстані від цього заряду, дорівнює (A) Приклади розв'язання задач Приклад. По тонкому * стрижня, довжиною l см рівномірно розподілений заряд l, мкКл. Знайти потенціал у точці A, що лежить на продовженні стержня на відстані x см від його найближчого кінця (рис ..). Користуючись диференціальним зв'язком напруженості і потенціалу, знайти напруженість електричного поля в точці A. Найбільш економно в даному випадку знайти потенціал φ (a), виходячи з принципу суперпозиції потенціалу: (A) d (A) за. Введемо вісь x, як на рис. Подумки розділимо стрижень на настільки малі ділянки dx, що зосереджений на ділянці dx заряд d можна вважати точковим. Оскільки заряд розподілений по стрижні рівномірно, то / l d / dx, звідки потенціал d (A) A, Мал. d dx. У точці A цей заряд d створює l d (вважаємо, що φ ()), тут відстань від ділянки dx до l + x x. Потенціал, який створюється всіма зарядами стрижня, знайдемо інтегруванням:
2 d dx (A) d (A). l по по Врахуємо, що відстань від довільного заряду d до точки A-різному, і перейдемо до інтегрування по (d dx, межі інтегрування по приймуть значення при x l + x, при x l x) (рис ..). Тоді x d l + x (A) ln 3 кв l l. x l + x Звичайно, можна знайти φ (a) з інтегральної зв'язку напруженості і потенціалу (A) A E dx, але для цього потрібно спочатку вирахувати E x x (x) (теж за допомогою принципу суперпозиції), цей шлях довший. При x >> l заряд стрижня можна вважати точковим, дійсно, в цьому випадку (A) ln (+ l x) (тут використано розкладання в ряд Тейлора πε x l ln (+ x) x при малих x). Знаючи φ (x), знайдемо d d x E x dx dx ln l x l, E () x (x l) x A. x (x l) Відзначимо, що цей вислів для E x справедливо тільки для точки на продовженні стрижня. Приклад. Знайти потенціал як функцію відстані від центру двох концентричних сфер радіусами см і см, рівномірно заряджених зарядами, -6 Кл і 3, -6 Кл. Початок відліку потенціалу прийняти в центрі (φ ()). Розрахунок потенціалу з принципу суперпозиції l d представляє тут математично складне завдання. Висока симетрія заряду дозволяє легко розрахувати напруженість поля і скористатися зв'язком потенціалу і напруженості в інтегральної формі Застосовуючи теорему Гаусса, знайдемо () () () E dl, () l. E на ділянці <<, по
3 E на ділянці <<, + E при>. Отриманий залежності E () для конкретних заданих значень наведені на рис. E, 5 Н / Кл 5-5 Рис. Ріс..3. Обчислюючи потенціал φ (), відзначимо, що відповідний інтеграл являє собою площу, обмежену кривою E () (рис ..). Математичний вираз для потенціалу (як і E ()) буде мати для різних областей різний вигляд. Так, для області <() d, d, для <<() + d + d + для области () + + d d На рис..3 изображен график φ() при заданных значениях. Потенциал бесконечно удаленных точек положительный, это означает, что при переносе единичного заряда к центру поле совершает положительную работу (действительно, d <, E <, da <). Задачи. Два точечных заряда расположены на оси x декартовой системы координат. Заряд, -7 Кл находится в точке x, заряд, -7 Кл в точке x 7 мм..
if ($ this-> show_pages_images $ Page_num doc [ 'images_node_id']) 
4. Знайти потенціал: а) в точці з координатами x мм, y 5 мм; б) в точці, в якій результуюча напруженість поля E (φ ()). Побудувати графік залежності потенціалу φ від координати x для точок, розташованих уздовж осі абсцис. По тонкому * стрижня довжиною l рівномірно розподілений заряд. Знайти потенціал в точці, що лежить на продовженні стержня на відстані x від його найближчого конца..3. Тонкий * стрижень довжиною l см заряджений позитивним зарядом з x лінійної щільністю τ τ, де τ 8 нКл / м (ріс..5). Знайти потенціал в точці, l знаходиться на продовженні стержня на відстані a см від його правого кінця. По тонкому * півкільцю радіуса 8 мм рівномірно розподілений заряд 7-8 Кл. Знайти потенціал у центрі півкільця. Як зміниться відповідь, якщо півкільце заряджена нерівномірно? .5. По тонкому * півкільцю радіуса рівномірно розподілений заряд. З центру півкільця відновлений перпендикуляр до площини півкільця. Ось z спрямована по перпендикуляру, початок координат в центрі півкільця. Знайти потенціал φ і проекцію вектора напруженості E z як функцію координати z точок, що лежать на осі z. Що зміниться, якщо заряд розподілити по півкільцю нерівномірно? .6. По тонкому * кільцю радіуса рівномірно розподілений заряд. Знайти потенціал поля в точці, що лежить на осі кільця на відстані z від його центру. Побудувати графік залежності потенціалу φ від координати z точок, що лежать на осі кільця (вісь z спрямована по осі кільця, початок координат збігається з його центром), вважаючи: а) φ при z; б) φ при z. 3. Знайти напруженість поля в точках, що лежать на осі, диференціальну зв'язок між φ і E. Що зміниться в рішенні завдання, якщо заряд буде розподілений по кільцю нерівномірно? .7. Поле створено диполем з електричним моментом p l. Знайти потенціали точок, що лежать: а) уздовж осі диполя (вісь x) і б) на перпендикуляр до осі, що проходить через середину диполя.
5. Побудувати графіки залежностей φ (x) і φ (y) для зазначених точек..8. Тонкий диск радіуса см рівномірно заряджений з поверхневою щільністю σ 5 нКл / м. Знайти потенціали в точках, що лежать на осі диска на відстанях: a) z, l; б) z 3 від його центру. Показати, що при z >> потенціал змінюється з відстанню, як в полі точкового заряду. 3. Побудувати графік залежності потенціалу φ від відстані z до точок, розташованих на осі діска..9. За півсфері радіусу см рівномірно розподілений заряд 6-7 Кл. Знайти потенціал у центрі півсфери. Як зміниться відповідь, якщо заряд розподілити по поверхні півсфери нерівномірно. За сферою радіуса 3 мм рівномірно розподілений заряд, -7 Кл. Знайти потенціал в точках, розташованих на відстанях мм і мм від центру сфери. Початок відліку потенціалу вибрати в центрі сфери. Побудувати графік φ (). 3. Ті ж питання при початку відліку потенціалу в нескінченності. Тонка * довга * нитка рівномірно заряджена з лінійною щільністю τ, -7 Кл / м. а) Знайти потенціал в точках, розташованих на відстані мм і мм від нитки. Початок відліку потенціалу в точці на відстані від нитки 6 мм. б) Обчислити потенціал в кожній точці, прийнявши 6 см. Довгий * циліндр радіусом 3 мм рівномірно заряджений по поверхні з щільністю σ 6-9 Кл / м. Знайти потенціали в точках на мм, см від його осі. Початок відліку потенціалу прийняти на осі. Побудувати графік φ (). 3. Чи можна вибрати початок відліку потенціалу в звичайно віддаленій точці? Відповідь об'ясніть..3. Велика * площину рівномірно заряджена з поверхневою щільністю σ 6-9 Кл / м. Знайти потенціали в точках, розташованих на відстані x см, x см від неї. Початок відліку потенціалу прийняти на площині.
6. Об'ємний заряд постійної щільності ρ має форму довгого * циліндра радіусом. Знайти потенціал як функцію відстані від осі циліндра. За точку з нульовим потенціалом прийняти вісь циліндра, φ (). Побудувати графік φ (). 3. Чи можна в даному випадком початок відліку потенціалу віднести до нескінченності. Обчислити різницю потенціалів між точками, що відстоять від поверхні циліндра на / всередину і назовні, якщо 3 см, ρ 6-6 Кл / м Об'ємний заряд постійної щільності ρ має форму великого * плоского шару завтовшки d. Знайти потенціал як функцію відстані x від середини шару по нормалі до його поверхонь. Початок відліку потенціалу в середині шару, φ (). Побудувати графік φ (). 3. Обчислити різницю потенціалів між точками, що відстоять від поверхні шару на d / всередину і назовні, d, см, ρ 6-6 Кл / м Об'ємний заряд постійної щільності ρ має форму кулі радіуса. Знайти потенціал як функцію відстані від центру кулі. Початок відліку потенціалу вибрати на нескінченності, φ (). Побудувати графік φ (). 3. Обчислити потенціал центру кулі, якщо, см, ρ 6-6 Кл / м Сфера радіуса, см, рівномірно заряджена зарядом нКл, оточена концентричною сферою радіуса, см, рівномірно зарядженої зарядом нКл. Знайти потенціал точок, що знаходяться на відстані 3 3, см і 5, см від центру сфери. Знайти потенціал внутрішньої сфери. 3. Побудувати графіки залежності проекції вектора напруженості E і потенціалу φ від відстані. Побудувати ці ж графіки при збільшенні абсолютної величини заряду вдвое..8. Електронне хмара постійної об'ємної щільності заряду ρ 6 - Кл / м 3 має форму кулі радіуса 3, см. Концентрично цього хмарі
7 розташована тонка сфера радіуса 7, див, рівномірно заряджена з поверхневою щільністю σ, 5-6 Кл / м. Знайти потенціал поля в точках 3. см, 5, см, 6 8, см (відстань від центру об'ємного заряду до даної точки). Побудувати графіки залежності проекції; напруженості поля E і потенціалу φ від расстоянія..9. За сферою радіуса рівномірно розподілений заряд. Користуючись принципом суперпозиції, розрахувати потенціал як функцію відстані від центру сфери. Вказівка. Бічна поверхня кульового шару висоти dh дорівнює S π dh. Дві тонкі * великі * пластини, рівномірно заряджені з поверхневими плотностями σ, нКл / м і σ, розташовані паралельно один одному на відстані a 3 мм. Знайти різницю потенціалів U між пластинами. Побудувати графік зміни потенціалу вздовж прямої, перпендикулярної пластин, вважаючи потенціал однієї з них рівним нулю. Розглянути випадки: а) σ, нКл / м; б) σ σ; в) σ σ; г) σ, нКл / м. Три однакові тонкі * пластини розташовані, паралельно один одному на відстані d l, мм одна від одної (дуже малому в порівнянні з лінійними розмірами пластин). Знайти різниці потенціалів U і U між сусідніми пластинами, якщо на першій знаходиться рівномірно розподілений заряд з щільністю σ нКл / м, на другий σ нКл / м, на третій σ 3 6 нКл / м. Побудувати графік зміни потенціалу φ уздовж осі x, перпендикулярній площині пластин (φ на одній з пластин). Довга * тонка * пряма нитка рівномірно заряджена з лінійною щільністю τ, нКл / м. Який градієнт потенціалу в точці, віддаленій на відстань см від нитки. Вказати напрямок вектора gad φ..3. Потенціал електростатичного поля в деякій області залежить тільки від координати x наступним чином: a) φ ax + c, x>; б) φ ax / + c. Чому дорівнює напруженість такого поля. При якому розподілі зарядів може бути таке поле? 3. Яка розмірність коефіцієнтів a і c, ніж вони визначаються?
8. Деякий розподіл зарядів створює електростатичне поле, потенціал якого залежить тільки від координати x так, як це представлено на рис. а, б. Накреслити графік залежності проекції сили F x, з якою поле діє на протон, від координати x протона. Як буде змінюватися сила, з якою поле діє на протон, при d? 3. Які розподілу зарядів дозволяють отримати такі поля? .5. Яка енергія W і швидкість v електрона, що пройшов прискорює поле з різницею потенціалів в 3 В? .6. Дві паралельні пластини, відстань між якими l см, мають рівні різнойменні, рівномірно розподілені заряди (плоский конденсатор). У Нескінченно широкий потенційний бар'єр Потенційний бар'єр кінцевої ширини Рис. а, б. середину між ними, паралельно їм, влітає пучок електронів, що пройшли прискорює електричне поле з різницею потенціалів U 5 В. Яку мінімальну різницю потенціалів U треба створити між пластинами, щоб електрони не вилетіли з простору між ними? Довжина пластин b 5 см. Відповіді. а) (x y), 5 кв; x + y [()] x + x + y, x, x, м. x x x б) (), кв. Див. Мал l ln +. l x.3. τ a l ln 6 У + + πε l. а) б)
9. 8 кв. πε. Чи не ізменітся..5. () Z πε + z, () z. Чи не ізменітся..6. () Z. πε + z z E z. πε + z () 3 z Ріс..5. Див. Ріс..6 а й б. z 3. E z () z. πε + z 3 (). Нічого не ізменітся..7. а) (x) l, πε l (x) (x) l, l (x,) πε (x) x (l x), x l / ;, x l / ;, l / x l /; вісь x спрямована вздовж дипольного моменту. Ріс..6 а, б. Ріс..7. Ріс..8.
10 б) (, y). Див. Ріс..7. σ z + z z, ε а) φ 5 В; б) φ 9 В..8. () (). Вказівка: по формулі Тейлора + x + x при малих x. 3. Див. Мал кв. Не зміниться. πε. Див. Ріс..9, крива а. (), () Кв 3. () 3 кв, () 9 кв τ. () Ln; πε, см. ріс..9, крива б. а) () 8, кв, () кв 3,7; б) () кв, () кв 3. σ. (), () Ln кв. Див. Мал Не можна. ε Ріс..9 а, б. Мал.
11 σx ε.3. (X); (X) В; (X) В ρ ρ. () Ε,; () Ln + ε Рис. Див. Мал Не можна. Мал. ρ ε 8. () (3) ln 3 кв ρx ε.5. (X), x d /; (X) x. Див. Мал Не можна. 7 ρd d. 3 ε. () (3d) 5 В,; () Ρ.6. () (3 ε) 6 ρd d ε 3 ρ. 3ε, В, x d /. 3. Див. Ріс..3. ρ 3. () 3 В ε. Ріс..3.
12 πε () 3, кв; () 3,6 кв πε. () 3. Див. Мал. а, б. +, X d /. Див. Ріс..5 а, б. Мал. а, б. ε.8. () Ρ ρ + σ. () Кв, () кв 3 3 ρ σ 3ε ε () +. () Кв 3 () (ρ σ) + 3ε 5 3,;. (6), 7 кв. Див. Ріс..6 а, б. E, 5 В / м Ріс..5 а, б; Ріс..6 а, б.
13 .9. (),; (). (Σ σ) U a, ε. а) U 3, В; б) U; в) U 6,8 В; г) U В. Див. ріс..7 а, б, в, г, потенціал лівої пластини з щільністю заряду σ дорівнює нулю. d ε. U (σ σ σ), 3 В; (Σ + σ σ) 7 В 3 Ріс..7 а, б, в, г. Див. Ріс..8, φ на лівій пластини з σ. d U 3. ε τ. gad В м. πε Ріс..8.
14 .3. а) a; E x б) E x ax. а) Рівномірно заряджена площина; б) об'ємний заряд постійної щільності. 3. а) [a] В / м, [c] В; б) [a] В / м, [c] В. Див. ріс..9 а, б. F x Ріс..9 а, б. F x. 3. а) Заряджений плоский конденсатор; б) дві великі паралельні площині з однаковими (за знаком і модулю) зарядами W eu 3 ев, 8 Дж; v eu m, м с..6. U Ul В. b e