Лінійна залежність і ранг матриці.
Система векторів одного і того ж порядку називається лінійно-залежною, якщо з цих векторів шляхом відповідної лінійної комбінації можна отримати нульовий вектор. (При цьому не допускається, щоб всі коефіцієнти лінійної комбінації були рівні нулю, так як це було б тривіально.) В іншому випадку вектори називаються лінійно-незалежними. Наприклад, наступні три вектори:
лінійно залежні, так як що легко перевірити. У разі лінійної залежності будь-який вектор можна завжди висловити через лінійну комбінацію інших векторів. У нашому прикладі: або або Це легко перевірити відповідними розрахунками. Звідси випливає наступне визначення: вектор лінійно незалежний від інших векторів, якщо його не можна представити у вигляді лінійної комбінації з цих векторів.
Розглянемо систему векторів, не уточнюючи, чи є вона лінейнозавісімой або лінійно-незалежною. У кожної системи, що складається з вектор-стовпців а, можна виявити максимально можливу кількість лінійно-незалежних векторів. Це число, що позначається буквою, і є рангом даної системи векторів. Так як кожну матрицю можна розглядати як систему вектор-стовпців, ранг матриці визначається як максимальне кількість пронумерованих лінейнонезавісімих вектор-стовпців. Для визначення рангу матриці користуються і вектор-рядками. Обидва способи дають однаковий результат для однієї і тієї ж матриці, причому не може перевищувати найменшу з або Ранг квадратної матриці порядку коливається від 0 до. Якщо все вектори є нульовими, то ранг такої матриці дорівнює нулю. Якщо все вектори лінійно незалежні один від одного, то ранг матриці дорівнює. Якщо утворити матрицю з наведених вище векторів то ранг цієї матриці дорівнює 2. Так як кожні два вектора можуть бути зведені до третього шляхом лінійної комбінації, то ранг менше 3.
Але можна переконатися, що будь-які два вектори з них є-лінійно-незалежними, отже, ранг
Квадратну матрицю називають вироджених, якщо її вектор-стовпці або вектор-рядки лінійно залежні. Визначник такої матриці дорівнює нулю і зворотного їй матриці не існує, як уже було відзначено вище. Ці висновки еквівалентні один одному. Внаслідок цього квадратну матрицю називають невиродженою, або неособенной, якщо її вектор-стовпці або вектор-рядки незалежні один від одного. Визначник такої матриці не дорівнює нулю і зворотна їй матриця існує (порівняй з с. 43)
Ранг матриці має цілком очевидну геометричну інтерпретацію. Якщо ранг матриці дорівнює, то кажуть, що -мірним простір натягнуто на векторів. Якщо ранг то векторів лежать в вимірному підпросторі, яке всіх їх включає в себе. Отже, ранг матриці відповідає мінімально необхідної розмірності простору, «в якому містяться всі вектори», -мірним підпростір в вимірному просторі називають -мірною гиперплоскостью. Ранг матриці відповідає найменшій розмірності гиперплоскости, в якій ще лежать всі вектори.
Ортогональность. Два вектора а і b називаються взаємно-ортогональними, якщо їх скалярний добуток дорівнює нулю. Якщо для матриці порядку має місце рівність де D - діагональна матриця, то вектор-стовпці матриці А попарно взаємно-ортогональні. Якщо ці вектор-стовпці пронормувати, т. Е. Привести до довжини, яка дорівнює 1, то має місце рівність і говорять про ортонормованих векторах. Якщо В - квадратна матриця і має місце рівність то матрицю В називають ортогональною. В цьому випадку з формули (1.22) випливає, що Ортогональна матриця завжди невироджених. Звідси з ортогональности матриці слід лінійна незалежність її вектор-рядків або вектор-стовпців. Протилежне твердження невірно: з лінійною незалежності системи векторів не слід попарно ортогональность цих векторів.