Нехитрий скаже: «Яка кухня!»
Але кухня легко перетворюється в лабораторію.
Агні Йога т.1 стор.198
Що таке взагалі - обчислення? Можна обчислювати «на паличках», як нас вчили в першому класі або навіть в дитячому саду, можна з олівцем в руці на аркуші паперу. Сучасний учень або учениця фиркнуть і скажуть - треба взяти калькулятор. Фахівці серйозніше напишуть програму для своїх обчислень, включать комп'ютер. Яке розмаїття: одним для обчислення знадобляться кілька пальців на руках, іншим - вирішити диференціальне рівняння, «взяти» інтеграл і т.д. і т.п. Сказати вичіслімость (або невичіслімость) - мало. Мовляв, зважилася завдання - вичіслімость, не наважилася - невичіслімость. Може бути, взявся за вирішення завдання людина, слабенький в математиці? Запросимо найсильніших - і немає невичіслімості.
Нагадаємо, що трохи вище ми сказали, що існують завдання, які взагалі невичісліми (та ж проблема Ферма). Як же дізнатися, що проблема не вирішується, чи не обчислюваності, або, як кажуть математики - алгоритмічно нерозв'язна? Чи не посадиш же сотню найсильніших математиків - вирішуйте, хлопці, і поки не вирішите, будете сидіти на сухарях і воді. Сто днів сиділи на сухарях з водою - не вирішили. А на сто перший день знайшовся ще один, сильніший сильних, взяв і «клацнув». Як же бути, якщо не знайдеться один, сильніше найсильніших? Якщо і тисяча і десять тисяч днів пройдуть, а завдання ні з місця? Ні, потрібен якийсь інший надійний спосіб визначення невичіслімості. Але колись потрібно точніше розібратися - що ж таке вичіслімость?
Кількома рядками вище було згадано про велику різницю між обчисленнями, наприклад, «на паличках», або на комп'ютері. Однак, потрібно знайти щось спільне, єдине в самих різних обчисленнях. Це загальне, єдине і буде визначенням поняття «вичісленімость». Згаданому нами раніше англійському математику Алану Тьюрингу належить відкриття цього самого загального, єдиного. характеризує найрізноманітніші обчислення.
Триває подорож лайнера з гордою назвою «Наука», і на палубі з'являється незнайоме неспеціалістам «пристрій», з назвою «Машина Тьюринга». Машина Тьюринга - «машина», придумана їм у першій третині XX століття. У ній все обчислення зведені до невеликого набору вельми простих, одноманітних операцій. Ми слово «машина» взяли в лапки з однієї причини: це в звичайному сенсі не машина, наприклад, із заліза або електронних схем. Коли її «виготовляють», то зазвичай малюють або роздруковують на аркуші паперу, іноді - програмують на комп'ютері (останньому є мудре назву - емуляція машини Тьюринга).
Порівняємо дві абсолютно несхожі завдання: домогосподарка в магазині підраховує на калькуляторі свої витрати за куплені продукти і розрахунок на сучасному комп'ютері траєкторії руху космічного корабля. І там і там мають місце обчислення, але вони настільки різні, що навіть якось «незручно» їх порівнювати. А чому? В одному випадку використовується послідовність елементарних арифметичних дій (скажімо, додавань і вирахувань), в іншому - розрахунок за складнішими формулами. Часто ж обчислення потрібно порівнювати, зіставляти. Навіть існує така наукова дисципліна - теорія алгоритмів, одна з цілей якої - зіставлення алгоритмів, за якими ведуться обчислення.
Уявімо собі стрічку довільної довжини. Стрічка вертикальними рисками розділена на рівні ділянки, звані осередками. У кожному осередку може бути записаний один символ (цифра, буква, знак пунктуації, математичний символ та інше). Якийсь зразок такої стрічки зображений на рис.1
Мал. 1 Вхідний слово на стрічці для складання чисел 5 і 3
Примітка: грецька буква «лямбда» у нас буде позначати вільну позицію, в якій ніякої символ не збережено.
Пристрій управління - це ніяке ні «залізо», ні «електроніка». Це - намальована (надрукована) на аркуші паперу прямокутна таблиця. Ми вже уточнили, що представлену на рис.1 запис можна трактувати як вихідне завдання машині вирішити задачу. Розробити таблицю управління машини, якщо завдання задано в загальному вигляді, тобто замість цифр 5 і 3 будуть будь-які цифри або числа десяткової системи числення вже досить важко. Тому для прикладу покажемо таблицю управління МТ тільки для конкретної записи, зображеної на рис.1. Така таблиця може виглядати так, як показано на рис.2.
Рис.2 «Пристрій управління» машини Тьюринга для складання чисел 5 і 3
Примітка: Таблиця для зручності розміщення на сторінці розділена на дві частини - верхню і нижню. Для відновлення її єдності необхідно нижню частину «приклеїти» праворуч до верхньої.
Як розуміти цю таблицю? Нехай до початку роботи головка знаходиться, як показано на рис.1, під літерою «с», а машина перебуває в початковому стані, позначених символом q0. Дивимося клітину таблиці на перетині рядка з буквою «с» і шпальти з символом q0. У цій клітці записана послідовність (трійка) символів сRq0. Трійка символів - це команда МТ. В даному конкретному випадку цю трійку слід розуміти так: машина в осередку, під якою розташована головка, збереже букву «с» (точніше - зітре букву «с» і знову запише букву «с»); залишить машину в колишньому стані q0 і зрушить головку (нехай рухається головка) на один крок вправо (буква R від слова Right - вправо).
На початку наступного такту головка тепер розташована під осередком з буквою «л». Дивимося в таблиці рядок з буквою «л» і стовпець з символом q0. тому машина як і раніше знаходиться в стані q0. На їх перетині - команда (трійка) уRq0. Нам вже зрозуміло, що по цій команді буква «а» стирається, на її місце записується буква «у», машина як і раніше залишається в стані q0. а головка знову рухається на один крок вправо.
Читач тепер без праці, самостійно, може простежити як буде працювати машина до моменту, коли головка прочитає з стрічки символ «?». Очевидно, що замість знака питання вона запише цифру 8. Слід лише звернути увагу, що машина тепер перейде в стан q1. а головка нікуди не зрушить (буква «H» від слова Halt - стояти). Тепер по таблиці легко простежити, що головка, нічого на стрічці не змінюючи, буде рухатися вліво (буква «L» від слова Left - вліво) до тих пір, поки не виявиться під порожній осередком (символ «лямбда»). Тут видно, що головка зупиниться і машина перейде в стан S (від слова Stop - зупинка).
Читач може запитати - навіщо потрібно було після отримання відповіді (число 8) рухати головку уздовж всієї стрічки вліво: результат же був отриманий раніше? Справді, можна було без цього обійтися, але для більш суворої (в математичному сенсі) трактування роботи МТ доцільно головку в кінці роботи поміщати щодо стрічки там, де вона була спочатку. Найбільш уважні обов'язково помітять, що це вимога нашої машиною порушено: головка на одну позицію виявилася лівіше вихідної. Виправити цей «недолік» легко: достатньо команду-трійку "лямбда" HS останнього рядка таблиці (на рис.2) замінить командою-трійкою "лямбда" RS. Слово-результат після закінчення обчислень показано на рис.3.
Рис.3 Слово на стрічці після закінчення обчислень
Ще якийсь прискіпливий читач обов'язково скептично зауважить: подумаєш - машина записала заздалегідь відомий результат, вона його не знайшла, він був записаний людиною, творцем таблиці. Чи варто було для цього «городити» машину? Відповідаємо. По-перше, нехай читач, якщо він не тільки прискіпливий, але і уважний, спробує «сгородіть» машину хоча б для довільних однорозрядних доданків (сума вже може виявитися двухразрядного). І, по-друге, і це найголовніше - в машині Тьюринга всілякі математичні (і не тільки математичні) завдання виявилися зведеними до як завгодно довгій низці одних і тих самих найпростіших операцій: вважати-записати символ, зрушити голівку і перевести машину з одного стану в інше. Усе. Це і є загальне, єдине для будь-яких, самих різних обчислень. Тому, в більш суворої формі ми можемо заявити - завдання обчислюваних (існує алгоритм рішення задачі), якщо існує машина Тьюринга, вирішальна цю задачу. В даному випадку не важливо - чи йде мова про підрахунок на калькуляторі вартості покупок в магазині, або розрахунку в комп'ютері траєкторії польоту космічного корабля. Зрозуміло, ніхто не буде використовувати машину Тьюринга для вирішення навіть найпростіших завдань. Незаперечна заслуга Алена Тьюринга полягає в тому, що він знайшов єдиний (і досить наочний) спосіб визначення обчислюваності.
Гаразд, розібралися з принципом роботи машини Тьюринга. Тепер пора відповісти на питання, як з її допомогою дізнатися «вичіслімость» або «невичіслімость»? У елементарної задачі «5 + 3 = 8» (Рис.1) ми не дарма «прогнали» головку туди, де вона була на початку. Правда, відразу трохи проскочили потрібну позицію, але потім одужали. Існує таке визначення. Якщо на початку роботи зчитувально-записує головка займала певне положення (у нас в прикладі, припустимо, під першим символом вхідного слова), якщо в процесі роботи машина «прочитала» вхідний слово повністю (тобто обійшла всі символи вхідного слова, до речі, можна і по кілька разів), якщо останов машини стався в початковому положенні головки, то кажуть - завдання виконане, існує алгоритм її вирішення, проблема обчислюваності.
Стережися, що не стережися, а крім, як в «Новий закон» виходить - йти нікуди. Але на шляху туди, у нас немає «нової фізики». Однак якби вона була, бентежить мене порушення одного малопомітного для багатьох обставини, відомого під назвою «принцип Оккама» (іноді говорять - «бритва Оккама»). Бритва Оккама ще з доби середньовіччя відома, як неписаний закон науки, який говорить - не примножувалося сутностей. Це, звичайно, не закон, на зразок законів Ньютона або Ома і безлічі інших законів фізики та інших наук. Але, як показує історія розвитку наук протягом декількох століть, «бритва Оккама» спрацьовувала як би сама собою. Це не означає, що в науку нові суті не вводяться. Ще як вводяться! Але введення нової сутності - це, як правило, зміна наукової парадигми. І тут, всупереч природної спрямованості науки вперед, обов'язково повинен проявитися також властивий їй консерватизм.
У нашому прикладі не вводити нових сутностей, значить, намагатися «отшвартовалісь» в гаванях «Алгоритм» або «Старий закон». Але туди через небезпечного вантажу невичіслімості нас не пустять. Однак з новою сутністю в формі «нової фізики», рухаючись в сторону «Нового закону», ми вступимо в протиріччя з принципом Оккама. Неважко здогадатися, що протиріччя легко долається (знімається), якщо прийняти інше трактування позицій Пенроуза.
Нам нелегко зробити цей крок: Р.Пенроуз - маститий вчений, котрий має почуття глибокої інтуїції, що, в свою чергу, є ознакою великого і глибоко розуму. Чи не прислухатися до його думки - висока ймовірність зробити помилку в самому початку нашого шляху. І все-таки, і все-таки ... Наша інтуїція, підказує, що якщо виходити з еволюційного розвитку свідомості від його неіснування до свідомості людини, то самі вихідні зачатки свідомості не могли бути дуже складними, щоб вимагати свого, як пише Р.Пенроуз, квантового виконання. Невже у якийсь амеби, або більш «просунутого» в сенсі своєї «свідомості» черв'яка їх «нервові» процеси йдуть вже на квантовому рівні? Очевидно, що поведінка цих вельми простих представників тваринного світу може бути описано на рівні зовсім нескладних обчислювальних моделей.
Трохи нижче ми підійдемо до формулювання наукової гіпотези, що навіть для свідомості людини можна запропонувати «як би обчислювальну» модель, яка дозволить сказати - що ж таке являє собою свідомість? Інша справа, що описувана нижче модель не допоможе відповісти на інше питання: як це таке реалізується в матеріальному мозку? Однак просування в побудові відповіді на перше питання - важливий крок до знаходження відповіді на другий.
Отже, керуючись принципом бритви Оккама і міркуваннями еволюційного розвитку свідомості, ми задаємо наступне питання: чи можна об'єднати особливим чином позиції «A» і «B» (по Пенроуз) і пошукати нову, відповідну для швартування бухту, згідно нашої сюжетної лінії? Так вже й бути, скажімо: «Слава, Богу», бо таку бухту наш штурман відшукав, і ми тут же дали їй назву «Машина Тьюринга».
Зв'язалися по радіо і отримали таку відповідь, над яким довго ламали голову: В нашій бухті ми дозволимо кинути якір, якщо ваш корабель з назвою «Наука», задовольняє наступного визначення свідомості - свідомість є функція діяльності мозку по відомим фізичним законам. Ці закони можна перевести в якусь комп'ютерну форму, точніше - машину Тьюринга, яка при певних режимах своєї роботи не буде відповідати ніякому алгоритму, тобто - перестане бути машиною Тьюринга.
- Час від часу не легше, - тихо процідив крізь зуби якийсь матрос з нашої, готової збунтуватися, команди. - Наш капітан намірився «бритвою Оккама», відсікти «нову фізику», як зайву сутність, а вони (тут матрос махнув рукою в бік затишній бухти) вимагають, щоб ми непомітно приклеїли іншу - «певний режим роботи». І вовки ситі, і вівці цілі. Що ж таке, братці, машина Тьюринга, залишаючись машиною Тьюринга, повинна перестати бути машиною Тьюринга? Кошмарний сон, та й годі! Чим же вона стає? Явно - назрівав бунт. Матросні вдалося заспокоїти роз'ясненням (поки для нас не зовсім зрозумілим), що машина Тьюринга, яка перестає бути машиною Тьюринга - це ще не відомий науці перетворювач інформації.
При спробі отримати по радіо приписку до бухти, названої нами «Машина Тьюринга», між начальником порту (НП), які опинилися на тому кінці лінії зв'язку, і капітаном нашого лайнера (КЛ) стався неприємний для останнього обмін думками. Втім, закінчився він цілком благополучно.
НП: Вам відомо, що отримати право на приписку до нашої бухті має тільки те судно, на борту якого є «невичіслімость»?
НП: Пред'явіть, будь ласка, вашу невичіслімость. Пояснюю, що мова йде про невичіслімих здібностях вашої «машини Тьюрінга».
КЛ: Простіше простого. Тобто, я хочу сказати, що це зовсім не просто. Невичіслімості бувають різні - «правильні» і «неправильні». У нашої машини Тьюринга - «правильна» невичіслімость.
НП: Щось ви, капітан, говорите незрозуміле. Заколисати вас, напевно, шторму?
КЛ: Зовсім навпаки - підбадьорив. «Правильна невичіслімость» виникає тоді, коли машина стикається з алгоритмічно нерозв'язною проблемою. Все інше - «невичіслімость неправильна»: завдання може бути вирішена, але через якихось причин виникла помилка в обчисленнях.
КЛ: Якщо коротко, то спробуйте розгорнути двовимірну таблицю машини Тьюринга в одновимірну запис і подайте цей запис на вхід цієї ж самої машини.
НП: Гмм. Це щось екзотичне. Для мене, якщо чесно, ваша спроба змусити машину «читати саму себе» - якась штучно підстроєна виверт. Ось що пише відомий американський метр в області кібернетики Марвін Мінський: «Що трапиться, якщо машині зіставити її власне опис? Можна очікувати, що машина буде «паралізована», тому що він буде нескінченне число разів повторювати інтерпретують цикли і ніколи не зможе зробити будь-якого обчислення. Спершу такі явища здаються цікавими, потім вони починають дратувати, і, нарешті, ми змушені зробити висновок, що вони свідчать про нездоланні перешкоди на шляху нашого дослідження ». Ви що, вирішили нас розважити цікавими фокусами? Фокуси доречні на естраді.
КЛ: Що ви, яка естрада, які фокуси. Виключно наукова цікавість.
НП: Я в дитинстві теж хотів проявити «наукове», як ви зволили висловитися, цікавість. Вирішив підрізати у мухи крила і подивитися - злетить чи.
КЛ: Ну і як - злетіла?
НП: Ні, не злетіла, муху розчавив.
КЛ: Ось бачите, наукове цікавість дуже часто призводить до несподіваних результатів. Ви ж не хотіли розчавити муху?
НП: Я тільки хотів підрізати їй крила, щоб побачити, як мушача потужність прикладається до полегшених крил.
КЛ: А ми хочемо подолати перешкоду, яке М.Минская назвав «непереборною». Ну, як, припишіть?
Блукання між портами і розмова я, зрозуміло, придумав, уявив. Але за уявою криється серйозний висновок: поки ще можна спробувати обійтися без «нової фізики» і незрозумілість свідомості пошукати в межах існуючої наукової парадигми.
Всім відомо, що з ванн разом з водою іноді вихлюпують дітей. Ми позицію Пенроуза «C» обкромсалі «бритвою Оккама» (виплеснули дитину). А чи був хлопчик-то? (Це - крилата фраза з роману М. Горького «Клим Самгін»). Точно, був! Це - «нова фізика». За русской грамматике - фізика, правда, дівчинка. Дівчинка теж дитина. А чи була дівчинка? Ми точно знаємо - у Р. Пенроуза була. Правда, ми дещо, у вигляді «правильної невичіслімості» (теж дівчинки) до машини Тьюринга, додали. Дівчатка зазвичай щось втрачають, а тут, треба ж - придбання, що полягає в додатковому, особливому властивості, заставившем машину Тьюринга «читати саму себе». Ми ще не дали цій властивості якогось назви; зупинимося на ньому докладніше в наступному розділі, т. к. в подальшому, при викладі теми свідомості, воно, на наш погляд, буде відігравати важливу роль.
__ Попередня сторінка
__ Назад до змісту