Якщо ви уважно прочитаєте завдання C2, то з подивом виявите, що ніяких векторів там немає. Там тільки прямі та площини.
Для початку розберемося з прямими. Тут все просто: на будь-який прямий знайдуться хоча б дві різні точки і, навпаки, будь-які дві різні точки задають єдину пряму.
Хто-небудь зрозумів, що написано в попередньому абзаці? Я і сам не зрозумів, тому поясню простіше: в завданні C2 прямі завжди задаються парою точок. Якщо ввести систему координат і розглянути вектор з початком і кінцем в цих точках, отримаємо так називаемийнаправляющій вектор для прямої:
Навіщо потрібен цей вектор? Справа в тому, що кут між двома прямими - це кут між їх напрямними векторами. Таким чином, ми переходимо від незрозумілих прямих до конкретних векторах, координати яких легко вважаються. Наскільки легко? Погляньте на приклади:
· Завдання. У кубі ABCDA1 B1 C1 D1 проведені прямі AC і BD1. Знайдіть координати напрямних векторів цих прямих.
Рішення . Оскільки довжина ребер куба в умові не вказана, покладемо AB = 1. Введемо систему координат з початком в точці A і осями x, y, z, які спрямовані вздовж прямих AB, AD і AA1 відповідно. Одиничний інтервал дорівнює AB = 1.
Тепер знайдемо координати направляючого вектора для прямої AC. Нам будуть потрібні дві точки: A = (0; 0; 0) і C = (1; 1; 0). Звідси отримуємо координати вектора AC = (1 - 0; 1 - 0; 0 - 0) = (1; 1; 0) - це і є спрямовує вектор.
Тепер розберемося з прямою BD1. На ній також є дві точки: B = (1, 0, 0) і D1 = (0; 1; 1). Отримуємо спрямовує вектор BD1 = (0 - 1; 1 - 0; 1 - 0) = (- 1; 1; 1).
· Завдання. У правильній трикутній призмі ABCA1 B1 C1. всі ребра якої рівні 1, проведені прямі AB1 і AC1. Знайдіть координати напрямних векторів цих прямих.
Рішення . Введемо систему координат: початок в точці A, вісь x збігається з AB, вісь z збігається з AA1. вісь y утворює з віссю x площину OXY, яка збігається з площиною ABC.
Для початку розберемося з прямою AB1. Тут все просто: у нас є точки A = (0; 0; 0) і B1 = (1, 0, 1). Отримуємо спрямовує вектор AB1 = (1 - 0; 0 - 0; 1 - 0) = (1, 0, 1).
Тепер знайдемо спрямовує вектор для AC1. Все те ж саме - єдина відмінність в тому, що у точки C1 ірраціональні координати. Отже, A = (0; 0; 0), тому маємо:
Невелике, але дуже важливе зауваження щодо останнього прикладу. Якщо початок вектора збігається з початком координат, обчислення різко спрощуються: координати вектора просто рівні координатами кінця. На жаль, це вірно лише для векторів. Наприклад, при роботі з площинами присутність на них початку координат тільки ускладнює викладення.