1. При транспонировании матриці її визначник не змінюється:
2. При перестановці двох рядків (стовпців) визначник змінює знак:
3. При збільшенні елементів рядка (стовпця) визначника на деяке число весь визначник множиться на це число:.
Слідство: Загальний множник елементів якого-небудь рядка (стовпчика) можна винести за знак визначника.
4. Величина визначника не зміниться, якщо до елементів одного рядка додати відповідні елементи іншого рядка, помножені на одне і те ж число:.
5. Визначник, який має нульову рядок (стовпець), дорівнює 0:
Слідство: Визначник, який має дві рівні рядки (стовпці) або дві пропорційні рядки (стовпці), дорівнює 0:. .
8. Якщо для елементів якого-небудь рядка або стовпця матриці правильне співвідношення: ,,, то вірно:
Докази цих властивостей випливають з правил обчислення визначника і справедливі для визначників будь-якого порядку.
Наприклад доведемо властивість №3 для визначника 2-ої порядку:
Обчислення визначника n-ого порядку
· Мінором елементаопределітеля -ого порядку називається визначник -ого порядку, отриманий з вихідного шляхом викреслення -ої рядки і -ого стовпця (на перетині яких знаходиться вибраний елемент) .Обозначеніе:.
Для елемента визначника маємо
· Алгебраїчним доповненням елементаопределітеля називається його мінор, взятий зі знаком «», якщо сума - парна, в іншому випадку зі знаком «-».
Приклад: Для елемента визначника маємо:
Теорема 1Определітель дорівнює сумі добутків елементів будь-якої його рядки або стовпці на відповідні їм алгебраїчні доповнення:
(По -му рядку) або
(По-ому стовпцю).
► Доведемо теорему для визначника 3-ого порядку.
Для матриці складемо і перетворимо суму добутків елементів 1-ої його рядки на відповідні їм алгебраїчні доповнення:
Теорема 2.Сумма творів елементів рядка (стовпця) квадратної матриці на алгебраїчні доповнення відповідних елементів іншого рядка (стовпця) дорівнює нулю.
►Алгебраіческіе доповнення елементів квадратної таблиці чисел містять всі рядки (в тому числі і i -у рядок) вихідної таблиці чисел, крім k -ої рядки. Підсумовування визначає значення визначника квадратної таблиці чисел, отриманої з вихідної заміною елементів k -ої рядки відповідними елементами i -ої рядки.
Наприклад, алгебраїчні доповнення елементів квадратної таблиці чисел розмірності містять елементи 2-ий і 3-ій рядків. тоді:
- елементи 1-ої рядка замінилися елементами 2-ий рядки.
Т. о. отриманий визначник матиме дві однакові (i -і) рядки.
За властивостями значення такого визначника дорівнює нулю. # 9632;
Замечаніе.Для розкладання визначника зазвичай вибирають ту рядок або той стовпець, де є нульові елементи, так як відповідні їм складові в розкладанні будуть дорівнюють нулю.
Визначник трикутної матриці дорівнює добутку елементів, що лежать на діагоналі.
Визначник одиничної матриці дорівнює 1, тобто.