Ортогональний нормований базис
Ми бачили (§ 12), що для будь-якого самосопряженних лінійного перетворення є свій ортогональний нормований базис. в якому його матриця діагональна. Може виявитися що для декількох самосопряженних перетворень існує один загальний базис, в якому матриці всіх цих перетворень діагональні. Ми з'ясуємо тут, за яких умов це можливо. [16]
Отже, для того щоб перетворення було самосопряженних, необхідно і достатньо, щоб в ортогональному нормированном базисі його матриця була симетрична. [17]
Якщо ж одновимірного інваріантного підпростору немає, то візьмемо двовимірне і позначимо через elt ег його ортогональний нормований базис. [18]
Застосувавши до отриманої таким чином повною системі лінійно незалежних елементів процес ортогоналізації, ми і побудуємо ортогональний нормований базис. [19]
Поняття афінного ортогонального тензора, що розглядалася в попередніх параграфах, пов'язане з перетворенням ортогональних декартових систем координат та відповідних їм ортогональних нормованих базисів. [20]
Для самосопряженних лінійних операторів в скінченномірному евклідовому просторі відома теорема про приведення матриці такого оператора до діагональної формі в деякому ортогональному нормированном базисі. У цьому пункті ми поширимо цю теорему на компактні самосопряженних оператори в гільбертовому просторі. [21]
Доведемо, що будь-який вектор є аффінним ортогональним тензором першого рангу. По-перше, в кожному ортогональному нормированном базисі et, e2, є3 вектор х визначається трійкою чисел - трійкою своїх координат. [22]
Матриця оеу, для якої виконані співвідношення (7.6), називається ортогональною. Таким чином, матриця переходу від одного ортогонального нормованого базису до іншого є ортогональною. [23]
Завданням цього пункту є вибір в просторі Rn нового ортогонального і нормованого базису і нового початку координат так, щоб наша поверхню 2-го порядку визначалася деяким спеціальним і особливо простим рівнянням, яке називається канонічним. [24]
Ми бачили в 7.33 а, що в афінному просторі ні канонічний базис, ні канонічний вид квадратичної форми не визначені однозначно; взагалі кажучи, можна було включити в канонічний базис форми будь-якої наперед заданий вектор. В евклідовому просторі і за умови, що розглядаються тільки ортогональні і нормовані базиси. становище інше. Справа в тому, що разом з матрицею квадратичної форми, як ми бачили, перетворюється і матриця відповідного симетричного лінійного оператора; якщо знайдений канонічний базис квадратичної форми, то одночасно знайдений базис з власних векторів симетричного оператора. При цьому коефіцієнти квадратичної форми в канонічному базисі (канонічні коефіцієнти) збігаються з відповідними власними значеннями оператора. Але власні значення оператора А суть коріння рівняння det (А - Е) - О, яке не залежить від вибору базису і інваріантної пов'язано з оператором А. Отже, сукупність канонічних коефіцієнтів форми (Ах, х визначена однозначно. [25]
Ми бачили в 7.33 а, що в афінному просторі ні канонічний базис, ні канонічний вид квадратичної форми не визначені однозначно; взагалі кажучи, можна було включити в канонічний базис форми будь-якої наперед заданий вектор. В евклідовому просторі і за умови, що розглядаються тільки ортогональні і нормовані базиси. становище інше. Справа в тому, що разом з матрицею квадратичної форми, як ми бачили, перетворюється і матриця відповідного симетричного лінійного оператора; якщо знайдений канонічний базис квадратичної форми, то одночасно знайдений базис з власних векторів симетричного оператора. При цьому коефіцієнти квадратичної форми в канонічному базисі (канонічні коефіцієнти) збігаються з відповідними власними значеннями оператора. Але власні значення оператора А суть коріння рівняння let (А - ХЕ) - 0, яке не залежить від вибору базису і інваріантної пов'язано з оператором А. Отже, сукупність канонічних коефіцієнтів форми (Ал, х) визначена однозначно. [26]
Цей оператор також симетричний. Згідно з теоремою про симетричному операторі (9.45) в просторі R є прямокутний і нормований базис з власних векторів оператора А. В цьому базисі матриця оператора А діа-гональна. Оскільки ця ж матриця є і матрицею билинейной форми А (х у), побудований базис є канонічний базис форми А (х у), що і було потрібно. [27]
В силу теореми 9.256 матриця самосопряженних оператора в будь-якому ортогональному і нормированном базисі збігається зі своєю ермітовим-транспонованою матрицею, іншими словами, є ермітовим-симетрична матриця. І назад, кожен оператор А, який має в деякому ортогональному і нормированном базисі ермітовим-симетричну матрицю, є самосопряженних оператором. [28]
Цей оператор також симетричний. Згідно з теоремою про симетричному операторі (9.45 в просторі R є прямокутний і нормований базис з власних векторів оператора А. В цьому базисі матриця оператора А діа-гональна. Оскільки ця ж матриця є і матрицею билинейной форми А (х у), побудований базис є канонічний базис форми А (х у), що і було потрібно. [29]
Матриця fl - ft, елементи якої задовольняють умовам (4), або, що те ж саме, умов (5), називається унітарною матрицею. Унітарні матриці є, як ми бачили, матрицями унітарних перетворень в ортогональному нормированном базисі. Так як перехід від одного ортогонального нормованого базису до іншого задається унітарною перетворенням, то матриця переходу від одного ортогонального нормованого базису до іншого такого ж є унітарною. [30]
Сторінки: 1 2 3