Спільне кратне. Найменше спільне кратне
Визначення 1. Якщо натуральне число a ділиться на натуральне число b. то число a називають кратним числу b.
Визначення 2. Загальним кратним декількох натуральних чисел називають натуральне число, яке є кратним для кожного з цих чисел.
Зокрема, загальним кратним декількох чисел є твір цих чисел.
Визначення 3. Найменша із загальних кратних декількох натуральних чисел називають найменшим спільним кратним (НОК) цих чисел.
Алгоритм знаходження найменшого спільного кратного
Розглянемо алгоритм знаходження найменшого спільного кратного кількох чисел на наступному прикладі.
Приклад. Знайти найменше спільне кратне чисел 100. 750 і 800.
Рішення. Розкладемо ці числа на прості множники:
Простий множник 2 в перший розкладання на множники входить в ступеня 2. у другу розкладання - певною мірою 1. у третю розкладання - певною мірою 5. Позначимо найбільшу з цих ступенів буквою k. Очевидно, що k = 5.
Простий множник 3 на початку розкладання на множники входить в ступеня 0 (іншими словами, множник 3 на початку розкладання на множники взагалі не входить), у другу розкладання входить в ступеня 1. у третю розкладання - певною мірою 0. Позначимо найбільшу з цих ступенів буквою l. Очевидно, що l = 1.
Простий множник 5 на початку розкладання на множники входить в ступеня 2. у другу розкладання - певною мірою 3. у третю розкладання - певною мірою 2. Позначимо найбільшу з цих ступенів буквою m. Очевидно, що m = 3.
Тепер розглянемо число:
то число і є найменше спільне кратне чисел 100. 750 і 800.
Зв'язок між найбільшим спільним дільником і
найменшим спільним кратним двох натуральних чисел
Затвердження. Найменше спільне кратне двох чисел можна знайти, розділивши твір цих чисел на їх найбільший спільний дільник.
Дійсно, розглянемо, наприклад, два числа: 10 і 75. Розкладаючи ці числа на прості множники, отримаємо
Використовуючи алгоритми знаходження найбільшого спільного дільника і найменшого спільного кратного чисел, отримуємо, що найбільший спільний дільник цих чисел дорівнює 5. а найменше спільне кратне цих чисел дорівнює 150. Оскільки твір чисел 10 і 75 одно 750. то справедливо співвідношення
що і було потрібно показати.
Зауваження. Оскільки найбільший спільний дільник двох взаємно простих чисел дорівнює 1. то найменше спільне кратне двох взаємно простих чисел дорівнює їх добутку.
На нашому сайті можна також ознайомитися з розробленими викладачами навчального центру «резольвенту» навчальними матеріалами для підготовки до ЄДІ і ОГЕ (ДПА) з математики.
Для школярів, що бажають добре підготуватися і здати ЄДІ або ОГЕ (ДПА) з математики, фізики або російській мові на високий бал, навчальний центр «резольвенту» проводить