Абсолютно твердим тілом називається матеріальне тіло, геометрична форма якого і розміри не змінюються ні за яких механічних впливах з боку інших тіл, а відстань між будь-якими двома його точками залишається постійним.
Кінематика твердого тіла, також як і динаміка твердого тіла, є одним з найбільш важких розділів курсу теоретичної механіки.
Поступальним рухом твердого тіла називається таке його рух, при якому будь-яка пряма, жорстко скріплена з тілом, залишається паралельною свого початкового стану в кожен момент часу.
Траєкторії точок у поступально рухається твердого тіла можуть бути не тільки прямими, але і кривими, в тому числі колами.
Теорема. При поступальному русі твердого тіла траєкторії, швидкості і прискорення всіх точок твердого тіла однакові.
Якщо вибрати дві точки твердого тіла А і В, то радіус-вектори цих точок пов'язані співвідношенням. Траєкторія точки А це крива, яка задається функцією. а траєкторія точки В це крива, яка задається функцією. Траєкторія точки В виходить перенесенням траєкторії точки А в просторі вздовж вектора. який не змінює своєї величини і напрямки в часі. Отже, траєкторії всіх точок твердого тіла однакові.
Продифференцируем за часом вираз .Получаем. так як . Продифференцируем за часом швидкості і отримаємо вираз.
Отже, швидкості і прискорення всіх точок твердого тіла однакові. Що й потрібно було довести.
Поступальний рух твердого тіла повністю характеризується рухом однієї будь-якої його точки.
Тверде тіло при поступальному русі має три ступені свободи.
Для завдання руху твердого тіла в декартовій системі координат досить знати координати будь-якої його точки.
Функції називаються рівняннями поступального руху твердого тіла.
Обертанням твердого тіла навколо нерухомої осі називається таке його рух, при якому дві точки тіла залишаються нерухомими протягом усього часу руху. При цьому також залишаються нерухомими всі точки тіла, розташовані на прямій, що проходить через його нерухомі точки. Ця пряма називається віссю обертання тіла.
Нехай точки A і B і без листя. Уздовж осі обертання направимо вісь. Через вісь обертання проведемо нерухому площину і рухливу. скріплену з обертовим тілом (при).
Положення площини і самого тіла визначається двогранним кутом між площинами і. Позначимо його. Кут називається кутом повороту тіла.
Положення тіла щодо обраної системи відліку однозначно визначається в будь-який момент часу, якщо задано рівняння. де - будь-яка двічі диференційована функція часу. Це рівняння називається рівнянням обертання твердого тіла навколо нерухомої осі.
У тіла, що здійснює обертання навколо нерухомої осі, одна ступінь свободи, так як його становище визначається завданням тільки одного параметра - кута.
Кут вважається позитивним, якщо він відкладається проти годинникової стрілки, і негативним - у протилежному напрямку. Траєкторії точок тіла при його обертанні навколо нерухомої осі є колами, розташованими в площинах перпендикулярних осі обертання.
Для характеристики обертального руху твердого тіла навколо нерухомої осі введемо поняття кутової швидкості і кутового прискорення.
Алгебраїчної кутовий швидкістю тіла в будь-який момент часу називається перша похідна за часом від кута повороту в цей момент, тобто.
Кутова швидкість є позитивною величиною при обертанні тіла проти годинникової стрілки, так як кут повороту зростає з плином часу, і негативною - при обертанні тіла за годинниковою стрілкою, тому що кут повороту при цьому зменшується.
Розмірність кутової швидкості за визначенням:
У техніці кутова швидкість - це частота обертання, виражена в оборотах на хвилину. За одну хвилину тіло повернеться на кут. де n - число оборотів в хвилину. Розділивши цей кут на число секунд в хвилині, отримаємо
Алгебраїчним кутовим прискоренням тіла називається перша похідна за часом від кутової швидкості, тобто друга похідна від кута повороту тобто
Розмірність кутового прискорення за визначенням:
Введемо поняття векторів кутової швидкості і кутового прискорення тіла.
і. де - одиничний вектор осі обертання. Вектори і можна зображувати в будь-яких точках осі обертання, вони є легкими векторами.
Алгебраїчна кутова швидкість це проекція вектора кутової швидкості на вісь обертання. Алгебраїчне кутове прискорення це проекція вектора кутового прискорення швидкості на вісь обертання.
Якщо при. то алгебраїчна кутова швидкість зростає з плином часу і, отже, тіло обертається прискорено в даний момент часу в позитивну сторону. Напрямок векторів і збігаються, обидва вони спрямовані в позитивну сторону осі обертання.
При і тіло обертається прискорено в негативну сторону. Напрямок векторів і збігаються, обидва вони спрямовані в негативну сторону осі обертання.
Якщо при. то маємо уповільнене обертання в позитивну сторону. Вектори і спрямовані в протилежні сторони.
Якщо при. то маємо уповільнене обертання в негативну сторону. Вектори і спрямовані в протилежні сторони.
Кутову швидкість і кутове прискорення на малюнках зображують дуговими стрілками навколо осі обертання (якщо не можна зобразити вектора). Дугова стрілка для кутової швидкості вказує напрямок обертання тіла, а дугова стрілка для кутового прискорення - напрямок, в якому збільшується алгебраїчна кутова швидкість. Для прискореного обертання дугові стрілки для кутової швидкості і кутового прискорення мають однакові напрямки, для уповільненої їхні напрямки протилежні.