Перенесення молекул (атомів) через мембрани. рівняння Фіка
Важливим елементом функціонування мембран є їх здатність пропускати або не пропускати молекули (атоми) і іони. Істотно, що ймовірність такого проникнення частинок залежить як від напрямку їх переміщення, наприклад в клітку або з клітки, так і від різновиду молекул і іонів.
Ці питання розглядаються в розділі фізики, що відноситься до явищ переносу. Таким терміном називають незворотні процеси, в результаті яких у фізичній системі відбувається просторове переміщення (перенесення) маси, імпульсу, енергії, заряду або будь-якої іншої фізичної величини.
До явищ перенесення відносять дифузію (перенесення маси речовини), в'язкість (перенесення імпульсу), теплопровідність (перенесення енергії), електропровідність (перенесення електричного заряду). Тут і в наступних параграфах розглядаються найбільш суттєві для біологічних мембран явища: перенесення речовини і перенесення заряду. Як синонім перенесення частинок в біофізики широке поширення отримав також термін транспорт частинок.
Виведемо основне рівняння дифузії (рівняння Фіка), розглядаючи процес перенесення в рідинах.
Нехай через деяку площадку S (рис. 11.10) у всіх напрямках переміщаються молекули рідини. З огляду на теорію молекулярної будови рідини (див. § 7.6), можна сказати, що молекули перетинають площадку, перескакуючи з одного положення рівноваги в інше.
На відстанях, рівних середньому переміщенню d молекул (середня відстань між молекулами рідини), вправо і вліво від майданчика побудуємо прямокутні паралелепіпеди невеликої товщини l (l < Всі молекули внаслідок хаотичного їх руху можна умовно уявити шістьма групами, кожна з яких переміщується вздовж або проти напрямку однієї з осей координат. Звідси випливає, що в напрямку, перпендикулярному майданчику S, уздовж осі ОХ від першого паралелепіпеда перескакує 1 / 6Slnl молекул, а протилежно осі ОХ від другого паралелепіпеда перескакує l / 6 Sln2 молекул. час Dt<«пролета» этими молекулами площадки S может быть найдено следующим образом. Предположим, что все молекулы из выделенных объемов движутся с одинаковыми средними скоростями . Тогда молекулы в объеме 1 или 2, дошедшие до площадки S, пересекают ее в течение промежутка времени Підставляючи в (11.1) вираз для середньої швидкості = d / t, де t - середній час «осілого життя» молекули, воно може розглядатися як середній час перескоку. «Баланс» перенесення молекул через площадку S за проміжок часу Dt дорівнює Помноживши (11.3) на масу т окремої молекули і ділячи на Dt, знаходимо масовий потік крізь площадку S: т. е. маса речовини, яка за 1 з переноситься через площадку S. Зміна концентрації п2 - nl молекул можна представити як добуток dn / dx на відстань 2d між виділеними обсягами: У рівнянні (11.4) замінимо Dt згідно (11.2) і (п2 - п1) згідно (11.5): Ставлення потоку до площі S, через яку він переноситься, називається щільністю потоку: Твір маси молекули на їх концентрацію є щільність речовини (парціальна щільність): З огляду на це, маємо з (11.7) Це є рівняння дифузії (рівняння Фіка), яке зазвичай записують у вигляді: Знак «-» показує, що сумарна щільність потоку речовини при дифузії спрямована в бік зменшення щільності (в сторону, протилежну градієнту щільності), D - коефіцієнт дифузії, стосовно розглянутого прикладу дифузії в рідини він дорівнює Як видно з (11.10), одиниця виміру коефіцієнта дифузії [м 2 / с]. Рівняння дифузії можна записати не тільки для щільності масового потокать і для щільності потоку частинок і щільності потоку речовини при цьому в рівнянні (11.9) замість градієнта щільності слід використовувати відповідно градієнт концентрації або градієнт молярної концентрації: А. Ейнштейн показав, що коефіцієнт дифузії пропорційний температурі: І тому замість (11.11) маємо У формулі (11.12) і далі ит - рухливість диффундирующих молекул (частинок), виражена для благаючи. Взагалі кажучи, рухливістю дифундуючої частки (молекули, атома, іона, електрона) і називають коефіцієнт пропорційності між швидкістю u частки і силою f. рухає частку, в тому випадку, коли на частку не діють інші сили (наприклад, тертя або зіткнення з іншими частками) і вона переміщається рівномірно: Як видно з (11.14), одиниця рухливості 1 м / (с • Н). Величини ит і та пов'язані через постійну Авогадро:
Перетворимо рівняння (11.9) стосовно біологічної мембрани. Будемо вважати, що концентрація часток, диффундирующих через мембрану, змінюється в мембрані за лінійним законом (рис. 11.11). Молярні концентрації частинок усередині і поза кліткою відповідно рівні ci і С0. Молярна концентрація цих же частинок в мембрані змінюється від внутрішньої до зовнішньої її частини відповідно від смi до СМ0. З огляду на лінійну зміну концентрації молекул, запишемо
де l - товщина мембрани, тоді замість (11.11) маємо
Практично доступніше визначити молярні концентрації частинок не всередині мембрани (смi і СМ0), а поза мембрани: в клітці (ci) і зовні клітини (С0). Вважають, що ставлення граничних значень концентрацій в мембрані дорівнює відношенню концентрацій в прилеглих до мембрани шарах: СМ0 / смi = c0 / ci; звідки
де k - коефіцієнт розподілу речовини (часток) між мембраною і навколишнім середовищем (зазвичай водна фаза). З (11.18) слід
Підставляючи (11.19) в (11.17), маємо
де Р - коефіцієнт проникності. В результаті отримуємо рівняння для щільності потоку речовини при дифузії через біологічну мембрану:
Як відомо, на мембрані існує різниця потенціалів, отже, в мембрані є електричне поле. Воно впливає на дифузію заряджених частинок (іонів і електронів). Між напруженістю поля Е і градієнтом потенціалу dj / dx існує відоме співвідношення (див. § 12.1):
Заряд іона дорівнює Ze. На один іон діє сила; сила, що діє на 1 моль іонів, дорівнює
Швидкість спрямованого руху іонів пропорційна діючій силі [см. (11.4), (11.5)]:
Щоб знайти потік речовини (іонів), виділимо обсяг електроліту (рис. 11.12) у вигляді прямокутного паралелепіпеда з ребром, чисельно рівним швидкості іонів. Всі іони, що знаходяться в паралелепіпеді, за 1 з пройдуть через площадку S. Це і буде потік Ф. Число молей цих іонів можна знайти, множачи обсяг паралелепіпеда (uS) на молярну концентрацію іонів з:
Щільність потоку речовини знайдемо, використовуючи формули (11.24) і (11.25):
У загальному випадку перенесення іонів визначається двома факторами: нерівномірністю їх розподілу, тобто градієнтом концентрації [см. (11.11)], і впливом електричного поля [см. (11.26)]:
Це рівняння Нернста -Планка. Використовуючи вираз для рухливості (11.12), перетворимо рівняння (11.27) до виду
Це інша форма запису рівняння Нернста-Планка.
Використовуємо рівняння Нернста-Планка для встановлення залежності щільності дифузійного потоку від концентрації іонів і від напруженості електричного поля. Припустимо, система знаходиться в стаціонарному стані, т. Е. Щільність потоку J постійна. Електричне поле в мембрані приймемо за однорідне, отже, напруженість поля однакова, а потенціал лінійно змінюється з відстанню. Це дозволить вважати, що де Jм - різниця потенціалів на мембрані. Спростимо запис доданка в рівнянні (11.28):
- допоміжна величина (безрозмірний потенціал). З урахуванням (11.29) одержимо рівняння Нернста-Планка в вигляді:
Розділимо змінні і проинтегрируем рівняння:
Потенціюючи (11.31), одержуємо
Перетворимо формулу (11.32), з огляду на вираження (11.19) і (11.20):
Взагалі кажучи, формула (11.33) справедлива як для позитивних (Z> 0, y> 0), так і для негативних (Z <0, y <0) ионов. Однако для отрицательных ионов целесообразно видоизменить это выражение, подставив в него отрицательное значение безразмерного потенциала:
Розділимо чисельник і знаменник цього виразу на е - y:
При використанні цієї формули необхідно пам'ятати, що негативні значення Z і y вже враховані в самій формулі, т. Е. Y - позитивна величина.
Рівняння (11.33) і (11.34) встановлюють зв'язок щільності стаціонарного потоку іонів з трьома величинами: 1) проникністю мембран для даного іона, яка характеризує взаємодію мембранних структур з іоном; 2) електричним полем; 3) молярної концентрацією іонів у водному розчині, що оточує мембрану (ci і c0).
Проаналізуємо окремі випадки рівняння (11.33):
а) y = 0, що означає або Z = 0 (нейтральні частинки), або відсутність електричного поля в мембрані (Jм = 0), або і те, і інше:
Знайдемо межі окремих співмножників.
Цю невизначеність можна розкрити за пра вилу Лопиталя:
Звідси отримуємо, як і слід було очікувати, рівняння (11.21):
б) однакова молярна концентрація іонів по різні боки від мембрани (ci = С0 = с) при наявності електричного поля:
Це відповідає електропровідності в електроліті (див. § 12.9). Для нейтральних частинок (Z = 0 і y = 0) J = 0;
в) якщо мембрана непроникна для частинок (Р = 0), то, природно, щільність потоку дорівнює нулю.