Мал. 2. Паралельний перенос уздовж дуги
Наочне уявлення про символи Крістофеля можна отримати на прикладі полярної системи координат. У цій системі координатами точки є відстань r> від неї до полюса і кут φ напрямки від полярної осі.
Нехай є вектор A> з компонентами (a. Α). де a має геометричний сенс проекції вектора A> на радіальний промінь (проходить через початок вектора), а α - кут, під яким вектор видно з полюса. У прямокутній системі координат компоненти вектора не змінюються при паралельному перенесенні. В полярній системі координат це не так (див. Рис 1 і 2).
Символи Крістоффеля якраз і висловлюють зміна компонент вектора при його паралельному перенесенні.
Паралельний перенос уздовж координатних ліній
При зміщенні вектора уздовж радіального променя на відстань d r> r>. його компонента a. очевидно, не змінюється, але друга його координата (α) зменшується (рис. 1). Величина вектора | A | 2 = a 2 + r 2 α 2 = a ^ + r ^ \ alpha ^> залишається незмінною, тому a 2 + (r + dr) 2 (α + d α) 2 = a 2 + r 2 α 2 + (r + > r) ^ (\ alpha +> \ alpha) ^ = a ^ + r ^ \ alpha ^>. Звідси виходить (зневагою величинами другого і більшого порядків малості):
Паралельний перенос в довільному напрямку
При довільному малому зміщенні вектора (коли змінюються і r. І φ) зміни компонент треба складати:
Отримані вирази мають загальну структуру: зміна компонент вектора пропорційно всіма компонентами вектора і пропорційно величині зсуву вектора. Коефіцієнти пропорційності (без загального мінуса) і називаються символами Крістофеля.
Тут символи Крістофеля Γ 22 +1 = - r ^ = - r >>. Γ 12 2 = Γ 21 2 = 1 / r ^ = \ Gamma _ ^ = 1 / r>. а всі інші дорівнюють нулю.
У прямокутній системі координат все символи Крістоффеля дорівнюють нулю, так як компоненти вектора не змінюються при паралельному перенесенні. З цього можна зробити висновок, що символи Крістоффеля не утворюють тензор. якщо тензор дорівнює нулю в будь-якій системі координат, то він дорівнює нулю у всіх інших системах координат.
Символи Крістоффеля першого і другого роду
Вираз через метричний тензор
Символи Крістоффеля зв'язності Леві-Чивіти для карти x i> можуть бути визначені з відсутності крутіння, тобто:
Для скорочення запису символ Набла ∇ і символи приватних похідних часто опускаються, замість них перед індексом, за яким здійснюється диференціювання, ставиться крапка з комою «;» в разі коваріантною і кома "," в разі приватної похідною. Таким чином, вираз вище можна також записати як:
Явні вирази для символів Крістофеля другого роду виходять, якщо скласти це рівняння і інші два рівняння, які виходять циклічної перестановкою індексів:
де g i j \> - контраваріантних уявлення метрики, яке є матриця, обернена до g i j \>. знаходиться шляхом рішення системи лінійних рівнянь g i j g j k = δ k i g _ = \ delta _ ^ \>.
Зв'язок з безиндекснимі позначеннями
Формальні, безиндексние визначення зв'язності абстрагуються від конкретної системи координат і тому більш кращі при доказі математичних теорем.
Нехай X і Y - векторні поля з компонентами X i \> і Y k \>. Тоді k -а компонента коваріантною похідною поля Y по відношенню до X задається виразом
Умова відсутності крутіння у зв'язності. ∇ X Y - ∇ Y X = [X. Y] Y- \ nabla _X = [X, Y] \>. еквівалентно симетричності символів Крістофеля по двох нижніх індексах:
Незважаючи на те, що символи Крістофеля записуються в тих же позначеннях, що і компоненти тензорів. вони не є тензорами. бо не перетворюються як тензори при переході в нову систему координат. Зокрема, вибором координат в околиці будь-якої точки символи Крістофеля можуть бути локально зроблені рівними нулю (або назад ненульовими), що неможливо для тензора.
При заміні змінних (x 1. x n). x ^) \> на (y 1. y n). y ^) \>. базисні вектори перетворяться коваріантного,
звідки випливає формула перетворення символів Крістофеля:
Риса означає систему координат y. Таким чином, символи Крістофеля НЕ перетворюються як тензор. Вони являють собою більш складний геометричний об'єкт в дотичному просторі з нелінійним законом перетворення від однієї системи координат до іншої.
Примітка. Можна помітити, наприклад, з визначення, що перший індекс є тензорним, тобто по ньому символи Крістофеля перетворюються як тензор.
Символи Крістоффеля в різних системах координат
Користуючись виразом символу через метричний тензор. або перетворенням координат, можна отримати значення їх в будь-якій системі координат. У механіці і фізиці найчастіше використовуються ортогональні криволінійні системи координат. В цьому випадку символи Крістоффеля з рівними коефіцієнтами виражаються через коефіцієнти Ламі (діагональні елементи метричного тензора) H β>. а всі інші дорівнюють нулю.
Символи Крістоффеля першого роду виражаються так:
Символи Крістоффеля другого роду:
Значення для поширених систем координат: