Унарна (одинична) система числення
Унарна система числення (одинична система числення) - позитивна сумарна целочисленная система числення з основою 1.
У якості єдиної «цифри» використовується «1», риска (|), камінчик, кісточка рахунок, вузлик, зарубка і ін.
Спроби записи чисел з цілою і дробовою частиною тільки однією цифрою поки безуспішні.
Поодинокі системи числення з ваговими функціями (коефіцієнтами) f = b незалежними від положення цифр є непозиційних (непоместнимі). Числа в них можуть бути записані у вигляді:
, де:
n - число цифр (одиниць),
k - число, порядковий номер цифри (одиниці) в числі x1, b,
a - число, що визначає безліч з якого беруться ak,
ak - числа з одноелементна безлічі a = (одиниці),
b - число, підстава ваговій функції,
при b = 1 ваги всіх цифр однакові і рівні «1»,
Так як ваговий коефіцієнт - b може бути будь-яким, то число одиничних непозиційних систем числення нескінченно. Найбільшого поширення набула одинична непозиційних система числення з ваговим коефіцієнтом рівним одиниці (b = 1). У народі іноді застосовується одинична непозиційних система числення з ваговим коефіцієнтом рівним двом (b = 2), за рахунку па? Рами.
З комбінаторики відомо, що число записуваних кодів не залежить від підстави вагового коефіцієнта - b. який визначає діапазон подаються числами x1, b величин, і дорівнює числу розміщень з повтореннями:
, де:
a = 1 - одноелементні безліч a = з якого беруться цифри ak. n - число елементів (чисел) в числі x1, b. З цього випливає, що Вищенаведена запис для фіксованого числа розрядів - n визначає одне число.
Сума таких записів з числом розрядів n від 1 до n визначає n одиничних чисел.
Цілі числа записуються у вигляді:
, де:
ak - одиниці.
Особливістю такої системи є те, що якщо приписати до числа одну «цифру» (одиницю), то число збільшується лише на цю одиницю.
(Для порівняння: якщо в звичайній десятковій системі числення до натуральному числу приписати справа 1, число збільшується відразу в 10 разів - і плюс 1).
Тому така система запису чисел зазвичай застосовується там, де йде послідовне збільшення підраховують величини, наприклад: за рахунку числа днів, кількості однакових подій і т. П.
Ймовірно, подібна система є найдавнішою системою числення в історії людства, для прикладу можна навести Московський математичний папірус. датується приблизно 1850 до н. е.
Дробові числа записуються у вигляді дробу з двох цілих чисел:
, де:
n - число цифр чисельника (a1) дробового числа x1,
m - число цифр знаменника (a2) дробового числа x1.
Подібно двійковій-десяткового кодування, в звичайній десятковій системі числення всередині кожного розряду можливо едінічнодесятічное (унарнодесятічное) кодування, в якому кожної арабської цифри від "0" до "9" відповідає свій одиничний (унарний) код від "" до "111111111".
У звичайній двійковій системі числення, яка застосовується в обчислювальній техніці, всередині кожного розряду можливе використання едінічнодвоічного (унарнодвоічного) кодування, в якому кожної арабської цифри від "0" до "1" відповідає свій одиничний (унарний) код від "" до "1".
У звичайній трійчастий системі числення, яка застосовується в обчислювальній техніці, всередині кожного розряду можливе застосування едінічнотроічного (унарнотроічного) кодування, в якому кожної арабської цифри від "0" до "2" відповідає свій одиничний (унарний) код від "" до "11".
У звичайній четверичной системі числення, яка застосовується в обчислювальній техніці, всередині кожного розряду можливе застосування едінічночетверічного (унарночетверічного) кодування, в якій кожної арабської цифри від "0" до "3" відповідає свій одиничний (унарний) код від "" до "111".
Якщо вагові коефіцієнти b залежать від положення цифр (одиниць) (b (k) = f (k)), то одинична система числення є помісною (позиційної). Ціле число в ній може бути записано у вигляді:
, де:
b (k) = f (k) - числа ваговій функції, вагові коефіцієнти, що залежать від місця (номера) цифри (одиниці) в числі x1, b.
Приклад: при bk = (k + 1)
число 11 = 1 * 1 = 110,
число 111 = 1 * 2 + 1 * 1 = 310,
число 1111 = 1 * 3 + 1 * 2 + 1 * 1 = 610,
число 11111 = 1 * 4 + 1 * 3 + 1 * 2 + 1 * 1 = 1010.
При b (k) = f (k) = 1 одинична система числення може розглядатися і як вироджена помісна (позиційна) позитивна целочисленная система числення з основою рівним 1.
При межразрядной функції f (k) = b (k) = b k утворюються здвоєні поодинокі показові системи числення:
, в яких безліч a. з якого беруться ak. дорівнює 1, а підстава межразрядной показовою функції не дорівнює 1.
Дробові числа записуються у вигляді:
, де:
m - число цифр дробової частини числа x1, b.