Головна | Про нас | Зворотній зв'язок
Від цілих показників ступеня числа a напрошується перехід до раціональних показником. Нижче ми визначимо ступінь з раціональним показником, причому будемо це робити так, щоб зберігалися всі властивості ступеня з цілим показником. Це необхідно, тому що цілі числа є частиною раціональних чисел.
Відомо, що безліч раціональних чисел складається з цілих і дробових чисел, причому кожне дробове число може бути представлено у вигляді позитивної або негативної звичайного дробу. Ступінь з цілим показником ми визначили в попередньому пункті, тому, щоб закінчити визначення ступеня з раціональним показником, потрібно надати сенс ступеня числа a з дробовим показником m / n. гдеm - ціле число, а n - натуральне. Зробимо це.
Розглянемо ступінь з дробовим показником виду. Щоб зберігало силу властивість ступеня в ступеня, має виконуватися рівність. Якщо врахувати отриману рівність і то, як ми визначили корінь n-го ступеня, то логічно прийняти за умови, що при даних m. n і a вираз має сенс.
Нескладно перевірити, що при справедливі всі властивості ступеня з цілим показником (це зроблено в розділі властивості ступеня з раціональним показником).
Наведені міркування дозволяють зробити наступний висновок. якщо при даннихm. n і a вираз має сенс, то ступенем числа a з дробовим показателемm / n називають корінь n-го ступеня з a в ступеня m.
Це твердження впритул підводить нас до визначення ступеня з дробовим показником. Залишається лише розписати, за яких m. n і a має сенс вираз. Залежно від обмежень, що накладаються на m. n і a існують два основні підходи.
1. Найпростіше накласти обмеження на a. прийнявши a≥0 для позитивних m і a> 0 для негативних m (так як при m≤0 ступінь 0 m не визначена). Тоді ми отримуємо наступне визначення ступеня з дробовим показником.
Ступенем позитивного числа a з дробовим показником m / n. де m - ціле, а n - натуральне число, називається корінь n -ої з числа a у ступені m. тобто, .
Також визначається подрібнена ступінь нуля з тією лише застереженням, що показник повинен бути позитивним.
Ступінь нуля з дробовим позитивним показником m / n. де m - ціле позитивне, а n - натуральне число, визначається як.
При ступінь не визначається, тобто, ступінь числа нуль з дробовим негативним показником не має сенсу.
Слід зазначити, що при такому визначенні ступеня з дробовим показником існує один нюанс: при деяких негативних a і деяких m і n вираз має сенс, а ми відкинули ці випадки, ввівши условіеa≥0. Наприклад, мають сенс записи або. а дане вище визначення змушує нас говорити, що ступеня з дробовим показником виду не мають сенсу, так як основа не повинна бути негативним.
2. Інший підхід до визначення ступеня з дробовим показником m / n полягає в роздільному розгляді парних і непарних показниках кореня. Цей підхід вимагає додаткового умови: ступінь числа a. показником якої є скоротна звичайна дріб, вважається ступенем числа a. показником якої є відповідна нескоротний дріб (важливість цього умови пояснимо трохи нижче). Тобто, якщо m / n - нескоротний дріб, то для будь-якого натурального числа k ступінь попередньо замінюється на.
При парних n і позитивних m вираз має сенс при будь-якому неотрицательную a (корінь парного степеня з від'ємного числа не має сенсу), при негативних m число a має бути ще відмінним від нуля (інакше буде поділ на нуль). А при непарних n і позитивних m число a може бути будь-яким (корінь непарного степеня визначено для будь-якого дійсного числа), а при негативних m число a має бути відмінним від нуля (щоб не було поділу на нуль).
Наведені міркування приводять нас до такого визначення ступеня з дробовим показником.
Нехай m / n - нескоротний дріб, m - ціле, а n - натуральне число. Для будь-якої сократимостью звичайного дробу ступінь замінюється на. Ступінь числа a з нескоротних дробовим показником m / n - це для
o будь-якого дійсного числа a. цілого позитивного m і непарного натурального n. наприклад,;
o будь-якого відмінного від нуля дійсного числа a. цілого негативного m і непарного n. наприклад, ;
o будь-якого невід'ємного числа a. цілого позитивного m і парного n. наприклад,;
o будь-якого позитивного a. цілого негативного m і парного n. наприклад, ;
o в інших випадках ступінь з дробовим показником не визначається, як наприклад не визначені ступеня.
Пояснимо, навіщо ступінь з сократимостью дробовим показником попередньо замінюється ступенем з нескоротних показником. Якби ми просто визначили ступінь як. і не обмовилися про нескоротних дробіm / n. то ми б зіткнулися з ситуаціями, подібними наступною: так как6 / 10 = 3/5. то повинно виконуватися рівність. але. а.
Зауважимо, що перше визначення ступеня з дробовим показником зручніше в застосуванні, ніж друге. Тому ми в подальшому будемо використовувати саме його.
ступінь позитивного числа a з дробовим показником m / n ми визначаємо як. для негативних a записи ми не надаємо ніякого сенсу, ступінь числа нуль ми визначаємо для позитивних дрібних показників m / n як. для негативних дрібних показників ступінь числа нуль не можуть бути визначені.
На закінчення цього пункту звернемо увагу на те, що дробовий показник ступеня може бути записаний у вигляді десяткового дробу або змішаного числа, наприклад,. Для обчислення значень виразів подібного виду потрібно показник ступеня записати у вигляді звичайного дробу, після чого скористатися визначенням ступеня з дробовим показником. Для зазначених прикладів маємо і