в тому випадку якщо
визначається за формулою:
Так як ряд в (19) сходиться рівномірно, то можна змінити порядок підсумовування і інтегрування:
Позначимо - ряд Неймана. (23)
Ця функція називається резольвенти рівняння (1). Рішення рівняння можна записати:
Якщо обчислена резольвента, то рішення рівняння може бути записано відразу ().
Визначення: Будемо говорити, що інтегральне рівняння (1) має резольвенту R (x, # 958;, # 955;), якщо рішення рівняння можна записати у вигляді (24), причому це рішення єдине при будь-якому вільному члені f (x).
Очевидно, що якщо у інтегрального рівняння існує резольвента, то вона єдина.
Дійсно, нехай при. рівняння має дві резольвенти і. Тоді єдине рішення рівняння можна записати у вигляді:
тому f (# 958;) - довільна функція.
Зауваження: резольвенту була визначена тільки для значень # 955 ;, таких що. Однак, резольвента існує у всій площині комплексного змінного # 955 ;, крім деяких ізольованих значень # 955 ;.
Ряд Неймана сходиться при | # 955; |<1.
виразно при # 955; ≠ 1 (всередині і поза колом | # 955; | = 1; на окружності, виключаючи лише # 955; = 1).
Зауваження: Для деяких рівнянь Фредгольма ряд (23) сходиться при всіх # 955 ;.
Припустимо, що
В силу нерівності Коші - Буняковського:
Проинтегрировав по # 958 ;, отримуємо
Звідси. тобто
Значить, ряд сходиться при.
Звідси резольвента задовольняє наступному інтегрального рівняння:
Цей інтеграл називається «k» -тим слідом ядра або слідом «k» -го ітерованих ядра. Маємо при x = # 958;
Після інтегрування по x по [a, b]:
Приклад. Побудувати резольвенту інтегрального рівняння з допомогою ітерованих ядер.
Рішення інтегрального рівняння:
Завдання для самостійної роботи:
Знайти ітерованих ядра для зазначених ядер при заданих a і b
і побудувати резольвенти.
Побудова резольвенти для наступних ядер