Існує важливий клас інтегральних рівнянь, які легко вирішуються шляхом зведення до системи алгебраїчних рівнянь. Такими інтегральними рівняннями є з так званими виродженими ядрами.
Визначення: Ядро інтегрального рівняння називається виродженим, якщо його можна представити у вигляді суми кінцевого числа доданків, кожне з яких є твір двох функцій, причому перша залежить лише від х, а друга - тільки від # 958 ;:
Вважаємо, що і безупинні на [a, b] і що, а також лінійно незалежні між собою.
Рівняння (1) має вигляд:
Підставами (29) в (1):
Так як . лінійно незалежні, то
Вирішивши систему (32), ми тим самим вирішимо і цю інтегральне рівняння, використовуючи формулу (29). Якщо алгебраїчна система (32) не розв'язна, то таке і інтегральне рівняння.
D (# 955;) - многочлен ступеня ≤ n, причому D (# 955;) ≠ 0, так як при # 955; = 0, D (0) = 1. отже, D (# 955;) має ≤ n різних коренів.
D (# 955;) називають визначником Фредгольма для рівняння (1).
1. Якщо # 955; таке, що D (# 955;) ≠ 0, то система (32), а, отже, і рівняння (1) має єдине рішення, яке визначається формулою (29). В цьому випадку при f (x) = 0, а отже, і система (32) має єдине рішення; отже # 966; (х) = 0. Це означає, що ті # 955 ;, для яких D (# 955;) ≠ 0, не є власними значеннями.
Висновок. якщо # 955; не є власним значенням, то рівняння (1) має єдине рішення.
Очевидно, що для того, щоб неоднорідне рівняння (1) мало єдине рішення при будь-f (x) (
![Тема 5 рівняння з виродженими ядрами - студопедія (має єдине рішення) Тема 5 рівняння з виродженими ядрами - студопедія](https://images-on-off.com/images/119/tema5uravneniyasvirozhdennimiyadramistud-3040a38a.png)
Зауваження: Як правило, при вирішенні інтегральних рівнянь доводиться часто вдаватися до наближених методів. При цьому важливо встановити можливість розв'язання рівняння при будь-правій частині (користуючись першої теоремою). Зручніше буває довести, що однорідне рівняння або транспонувати до нього (поєднане) має лише тривіальне рішення. Звідси в силу теореми 1 випливає можливість розв'язання неоднорідного рівняння.
Три фундаментальні теореми Фредгольма, що стосуються можливості розв'язання рівнянь з виродженими ядрами, можна поширити і на випадок довільного безперервного ядра.
Знайти рішення рівнянь з виродженими ядрами:
![Тема 5 рівняння з виродженими ядрами - студопедія (школопедія) Тема 5 рівняння з виродженими ядрами - студопедія](https://images-on-off.com/images/119/tema5uravneniyasvirozhdennimiyadramistud-f5f137ca.png)
Рішення: Позначимо
![Тема 5 рівняння з виродженими ядрами - студопедія (тема) Тема 5 рівняння з виродженими ядрами - студопедія](https://images-on-off.com/images/119/tema5uravneniyasvirozhdennimiyadramistud-cb2b7701.png)
![Тема 5 рівняння з виродженими ядрами - студопедія (лекція) Тема 5 рівняння з виродженими ядрами - студопедія](https://images-on-off.com/images/119/tema5uravneniyasvirozhdennimiyadramistud-4952f3be.png)
![Тема 5 рівняння з виродженими ядрами - студопедія (тема) Тема 5 рівняння з виродженими ядрами - студопедія](https://images-on-off.com/images/119/tema5uravneniyasvirozhdennimiyadramistud-b81592ec.png)
![Тема 5 рівняння з виродженими ядрами - студопедія (тема) Тема 5 рівняння з виродженими ядрами - студопедія](https://images-on-off.com/images/119/tema5uravneniyasvirozhdennimiyadramistud-51307566.png)
![Тема 5 рівняння з виродженими ядрами - студопедія (безкоштовно) Тема 5 рівняння з виродженими ядрами - студопедія](https://images-on-off.com/images/119/tema5uravneniyasvirozhdennimiyadramistud-a9e441b5.png)
![Тема 5 рівняння з виродженими ядрами - студопедія (безкоштовно) Тема 5 рівняння з виродженими ядрами - студопедія](https://images-on-off.com/images/119/tema5uravneniyasvirozhdennimiyadramistud-1c23354d.png)
Система [5] має вигляд:
![Тема 5 рівняння з виродженими ядрами - студопедія (посібник) Тема 5 рівняння з виродженими ядрами - студопедія](https://images-on-off.com/images/119/tema5uravneniyasvirozhdennimiyadramistud-66971bc5.png)
![Тема 5 рівняння з виродженими ядрами - студопедія (рівняння) Тема 5 рівняння з виродженими ядрами - студопедія](https://images-on-off.com/images/119/tema5uravneniyasvirozhdennimiyadramistud-f58ad418.png)
D (# 955;) = 0; ; - власні числа рівняння.
якщо # 955; ≠. # 955; ≠. то D (# 955;) ≠ 0 і система має єдине рішення:
![Тема 5 рівняння з виродженими ядрами - студопедія (посібник) Тема 5 рівняння з виродженими ядрами - студопедія](https://images-on-off.com/images/119/tema5uravneniyasvirozhdennimiyadramistud-2ddb5f3f.png)
![Тема 5 рівняння з виродженими ядрами - студопедія (має єдине рішення) Тема 5 рівняння з виродженими ядрами - студопедія](https://images-on-off.com/images/119/tema5uravneniyasvirozhdennimiyadramistud-ca846dfe.png)
- єдине рішення інтегрального рівняння
![Тема 5 рівняння з виродженими ядрами - студопедія (безкоштовно) Тема 5 рівняння з виродженими ядрами - студопедія](https://images-on-off.com/images/119/tema5uravneniyasvirozhdennimiyadramistud-703ad871.png)
![Тема 5 рівняння з виродженими ядрами - студопедія (студопедія) Тема 5 рівняння з виродженими ядрами - студопедія](https://images-on-off.com/images/119/tema5uravneniyasvirozhdennimiyadramistud-70d3cf2d.png)
![Тема 5 рівняння з виродженими ядрами - студопедія (безкоштовно) Тема 5 рівняння з виродженими ядрами - студопедія](https://images-on-off.com/images/119/tema5uravneniyasvirozhdennimiyadramistud-f5493120.png)
![Тема 5 рівняння з виродженими ядрами - студопедія (ядрами) Тема 5 рівняння з виродженими ядрами - студопедія](https://images-on-off.com/images/119/tema5uravneniyasvirozhdennimiyadramistud-35ec1860.png)
![Тема 5 рівняння з виродженими ядрами - студопедія (посібник) Тема 5 рівняння з виродженими ядрами - студопедія](https://images-on-off.com/images/119/tema5uravneniyasvirozhdennimiyadramistud-5203af0c.png)
D (# 955;) ≠ 0 при будь-яких дійсних # 955 ;.
За формулами Крамера;
Якщо. то єдине рішення рівняння
![Тема 5 рівняння з виродженими ядрами - студопедія (тема) Тема 5 рівняння з виродженими ядрами - студопедія](https://images-on-off.com/images/119/tema5uravneniyasvirozhdennimiyadramistud-f852fbb1.png)
Рішення: = x + # 958; - безперервно в квадраті 0≤х, # 958; ≤1 і є виродженим.
![Тема 5 рівняння з виродженими ядрами - студопедія (реферат) Тема 5 рівняння з виродженими ядрами - студопедія](https://images-on-off.com/images/119/tema5uravneniyasvirozhdennimiyadramistud-1d0e6e4f.png)
![Тема 5 рівняння з виродженими ядрами - студопедія (рівняння) Тема 5 рівняння з виродженими ядрами - студопедія](https://images-on-off.com/images/119/tema5uravneniyasvirozhdennimiyadramistud-4b080a42.png)
![Тема 5 рівняння з виродженими ядрами - студопедія (посібник) Тема 5 рівняння з виродженими ядрами - студопедія](https://images-on-off.com/images/119/tema5uravneniyasvirozhdennimiyadramistud-2922d5ab.png)
![Тема 5 рівняння з виродженими ядрами - студопедія (рівняння) Тема 5 рівняння з виродженими ядрами - студопедія](https://images-on-off.com/images/119/tema5uravneniyasvirozhdennimiyadramistud-5e402c8a.png)
Якщо. то єдине рішення
![Тема 5 рівняння з виродженими ядрами - студопедія (безкоштовно) Тема 5 рівняння з виродженими ядрами - студопедія](https://images-on-off.com/images/119/tema5uravneniyasvirozhdennimiyadramistud-21b6894a.png)
![Тема 5 рівняння з виродженими ядрами - студопедія (тема) Тема 5 рівняння з виродженими ядрами - студопедія](https://images-on-off.com/images/119/tema5uravneniyasvirozhdennimiyadramistud-330b93f2.png)
-
єдине рішення рівняння при.
![Тема 5 рівняння з виродженими ядрами - студопедія (студопедія) Тема 5 рівняння з виродженими ядрами - студопедія](https://images-on-off.com/images/119/tema5uravneniyasvirozhdennimiyadramistud-2883ca5e.png)
Рішення існує, єдине і може бути знайдено методом послідовних наближень при
![Тема 5 рівняння з виродженими ядрами - студопедія (посібник) Тема 5 рівняння з виродженими ядрами - студопедія](https://images-on-off.com/images/119/tema5uravneniyasvirozhdennimiyadramistud-84772641.png)
![Тема 5 рівняння з виродженими ядрами - студопедія (тема) Тема 5 рівняння з виродженими ядрами - студопедія](https://images-on-off.com/images/119/tema5uravneniyasvirozhdennimiyadramistud-50cfcf45.png)
![Тема 5 рівняння з виродженими ядрами - студопедія (рівняння) Тема 5 рівняння з виродженими ядрами - студопедія](https://images-on-off.com/images/119/tema5uravneniyasvirozhdennimiyadramistud-4881e862.png)
Рішення: Ядро - вироджений.
![Тема 5 рівняння з виродженими ядрами - студопедія (ядрами) Тема 5 рівняння з виродженими ядрами - студопедія](https://images-on-off.com/images/119/tema5uravneniyasvirozhdennimiyadramistud-46fd41ed.png)
за формулами [6] - [7] обчислюємо
Система [5] приймає вид
![Тема 5 рівняння з виродженими ядрами - студопедія (методичка) Тема 5 рівняння з виродженими ядрами - студопедія](https://images-on-off.com/images/119/tema5uravneniyasvirozhdennimiyadramistud-5316d226.png)
= С, = -π + 2С, де С - довільна постійна.
Відповідь: Будь-яка функція виду
є рішення даного інтегрального рівняння і інших рішень це рівняння не має.
Завдання для самостійної роботи:
Вирішити інтегральні рівняння з виродженими ядрами