У математиці часто зустрічаються пропозиції, містять одне або кілька змінних: х <3, х + у = 8. Эти предложения не являются высказываниями, так как не имеет смысла вопрос, истинны они или ложны.
Розглянемо приклад. Пропозиція «Число х - двозначне» не є висловлюванням, тому що щодо нього не можна визначити: істинно цю пропозицію або помилково. Однак при підстановці конкретних значень замість змінної воно звертається в істинне або помилкове висловлювання. Наприклад, при х = 7 ми отримаємо помилкове висловлювання «Число 7-двозначне», а при х = 27 - справжнє висловлювання «Число 27-двозначне». Таку пропозицію в математиці називають предикатом або висказивательной формою.
Пропозиція, що містить змінну, яка може набувати різних значень, причому підстановка будь-якого із значень змінної перетворює цю пропозицію в висловлювання, називається предикатом або висказивательной формою.
Кожна висказивательной форма породжує безліч висловлювань.
Наприклад, при підстановці різних значень замість змінної в висказивательную форму «х + 3 = 8» будемо отримувати однотипні висловлювання: 2 + 3 = 8, 7 + 3 = 8, 5 + 3 = 8 і ін.
За кількістю змінних, що входять в висказивательную форму (предикат), їх ділять на одномісні, двомісні і т.д. і відповідно позначають: А (х), В (х; у) і т.д.
Наприклад, пропозиції «Число х - двозначне» і «х + 3 = 8» є одномісними висказивательной формами (предикатами), а пропозиції «х> у» і «х + у = 10» - двомісними висказивательной формами.
Слід мати на увазі, що в висказивательной формі змінні можуть міститися неявно.
Наприклад, в пропозиціях: «Число парне», «Дві прямі перетинаються», «Чотирикутник є ромбом» змінних немає, але вони маються на увазі: «Число х - парне», «Дві прямі х і у перетинаються», «Чотирикутник х є ромбом» .
Для кожної висказивательной форми потрібно вказати безліч значень, які може приймати змінна (змінні), що входить в цю висказивательную форму.
Безліч значень, які може приймати змінна (змінні) висказивательной форми (предиката), називається областю визначення висказивательной форми (предиката).
Область визначення висказивательной форми будемо позначати через X чи предикати будемо записувати із зазначенням області визначення: А (х). х ÎХ; В (х; у), х. у ÎХ і т.д. Запис А (х), х Î Х. Новомосковскют: «висказивательной форма (предикат) А (х) задана на безлічі Х».
1. А (х): «Слово х - дієслово», його областю визначення буде безліч слів української мови.
3. С (х): «Чотирикутник х - квадрат», Х - безліч чотирикутників.
Серед усіх можливих значень змінної з області визначення виділяють ті, які звертають висказивательную форму в істинне висловлення.
Безліч тих значень змінної з області визначення висказивательной форми (предиката), при підстановці яких отримуємо істинні висловлювання, називається безліччю істинності висказивательной форми (предиката).
Безліч істинності висказивательной форми (предиката) будемо позначати буквою Т. Тоді, згідно з визначенням, ТÌХ (безліч Т є підмножиною множини Х).
1. А (х): «Слово х - дієслово», його безліччю істинності є безліч дієслів української мови.
3. С (х): «Чотирикутник х - квадрат», Т- безліч квадратів.
4. D (х; у): «х + у = 5». Безліч істинності цього предиката може бути різним у залежності від області визначення. Якщо Х = R або Х = Z, то Т - безліч пар чисел, сума яких дорівнює 5, причому це безліч буде нескінченним. Якщо Х = N, то Т =.
Висказивательную форму, задану на кінцевій множині, можна задавати таблицею, в першому рядку якої вказуються елементи області визначення, а в другій - істинно або хибно висловлювання, що отримується з висказивательной форми при підстановці цих елементів замість змінної.
Наприклад, нехай висказивательной форма А (х): «Число х - парне» задана на безлічі Х =. Так як висловлювання «Число 1 -четно» помилково, то числа 1 буде відповідати значення висказивательной форми «л» (неправда). Числа 2 відповідає істинне висловлювання «Число 2 - парне». Отримуємо наступну таблицю.