Але чому для виродженого оператора приєднаний вектор шукається як приєднаний ні до власному вектору, а як приєднаний до різниці 2-х власних векторів. Це такий алгоритм або приватний метод вирішення в даному випадку?
Такого алгоритму немає. Можливо, що це допомагає в даному випадку, але я в цьому не впевнений. Спробуйте.
Проблема радше в кратності власних значень. Якщо є два власних вектора, що відповідають одному своїм значенням, то власним вектором буде і будь-яка їх лінійна комбінація. Якщо приєднаний вектор є тільки у одного з двох, то взявши навмання деякий власний вектор ми швидше за все потрапимо на лінійну комбінацію і нас чекає невдача - приєднаного вектора не буде.
Загальна теорія тут звичайно є.
Про цю матрицю можна сказати наступне.
1. Характеристичний многочлен x ^ 3, всі власні значення рівні нулю. Оскільки кожна матриця задовольняє своєму характеристическому рівняння (теорема Гамільтона-Келі), то A ^ 3 = 0, тобто подіяв цією матрицею тричі, ми отримаємо нуль для будь-якого вектора.
2. Легко, проте, перевірити, що вже A ^ 2 = 0. Це означає, що мінімальний анулює многочлен x ^ 2, а це значить, що жорданова нормальна форма складається з двох клітин: 2х2 і 1х1.
3. Подивимося, як A діє на базисні вектори.
(1,0,0) переходить в (-3, -6, 3) = 3 (-1, -2,1) = 3y (y = (- 1, -2,1), легко перевірити, що Ay, природно, дорівнює нулю).
(0,1,0) -> (-1, -2,1) = y
(0,0,1) -> y
Таким чином, у цій матриці є два власних вектора (ви їх знайшли). Вони і все натягнуте на них підпростір відображаються в нуль. Решта відображається в y. Тільки у вектора y є приєднаний. Піди відразу здогадайся.
4. На практиці можна чинити так.
Нехай матриця A має кратні власні значення. Позначимо B = A-LE.
Знайдемо який-небудь вектор z, для якого Bz не дає нуль відразу. Будемо діяти на нього матрицею B, поки не отримаємо нуль. Останній ненульовий вектор - власний (засновник ланцюжка), решта - приєднані. Швидше за все ми почали не з початку ланцюжка і її доведеться продовжити в інший бік, вирішуючи рівняння для приєднаного вектора, але ясно, з чого починати, і множити на B простіше, ніж вирішувати рівняння (частина роботи вже зроблена).