Властивості потенційних полів.
1) в області безперервності потенціалу поля u лінійний інтеграл не залежить від шляху інтегрування і дорівнює збільшенню потенціалу
2) циркуляція (1.9) вектора по будь-якому замкнутому контуру, цілком лежить в області безперервності поля, дорівнює нулю:
3) потенціал знаходиться за формулою (2.3):
де (AM) - довільна крива, стягуюча точки A і M. Якщо шлях (AM) взяти у вигляді ламаної, що складається з відрізків, паралельних осях координат (кількість таких ламаних одно шести), то для знаходження потенціалу може бути застосована одна з формул, виражає потенціал через певні інтеграли; ):
Приклад. Перевірити, що поле вектора є потенційним і знайти його потенціал.
Рішення. Складемо для даного поля критерій потенційності (2.2):
- поле потенційно. Знайдемо потенціал за формулою (2.6): за початкову точку зручно взяти точку A (0,0,0):.
15.2.2. Соленоідальной векторне поле
Визначення. Векторне поле називається соленоїдом (трубчастим) полем, якщо дивергенція його дорівнює нулю:
(Тобто це поле без джерел і стоків). З теореми (1.11) випливає, що в соленоідальной поле потік
через будь-яку замкнену поверхню, що лежить в цьому полі.
Приклад. Які з нижченаведених полів є соленоідальной (в природній області визначення):
Рішення. 1) обчислимо критерій (2.7): - - поле вектора соленоідальной; 2) - полі не соленоідальной.
15.2.3. Диференціальні операції другого порядку.
Лапласово (гармонійне) векторне поле
Диференціальні операції другого порядку - це повторно застосовані операції grad, div і rot до скалярним і векторним полях, отриманим в результаті застосування цих же операцій до скалярним і векторним полях. Можливі лише такі повторні операції:; ,
де -лапласіан; ; ; .
Операції першого і другого порядків зручно записувати (і обчислювати, доводити) за допомогою спеціального символічного оператора (читається "Набла"):
Для диференціальних операцій першого порядку маємо
Операції другого порядку:
;
;
;
;
.
При застосуванні оператора "Набла" керуються наступним правилом: при застосуванні оператора до творів скалярних,) і векторних, полів: можна поступати так: застосувати оператор до кожного із співмножників окремо, вважаючи інший постійним (їх позначаємо), і результати скласти; потім каждоеслагаемое перетворити за правилами векторної алгебра так, щоб оператор стояв на передостанньому місці перед змінним множником.
Приклад. Показати що .
Рішення. У символічній формі записи. З огляду на спочатку диференційний характер, ми повинні написати. Розглядаючи вираз ми можемо постійний множник винести за знак "Набла" та, як скаляр, за знак скалярного
твори, що дає (на останньому кроці ми опустили індекс "c").
У вираженні оператор діє тільки на скалярну функцію u; тому ми можемо написати, що. В результаті отримуємо формулу або.