Розглянемо функцію y = k / y. Графіком цієї функції є лінія, яка називається в математиці гіперболою. Загальний вигляд гіперболи, представлений на малюнку нижче. (На графіку представлена функція y одно k розділити на x, у якій k дорівнює одиниці.)
Видно, що графік складається з двох частин. Ці частини називають гілками гіперболи. Варто відзначити також, що кожна гілка гіперболи підходить в одному з напрямків все ближче і ближче до осей координат. Осі координат в такому випадку називають асимптотами.
Взагалі будь-які прямі лінії, до яких нескінченно наближається графік функції, але не досягає їх, називаються асимптотами. У гіперболи, як і у параболи, є осі симетрії. Для гіперболи, представленої на малюнку вище, це пряма y = x.
Тепер розберемося з двома загальними випадками гіпербол. Графіком функції y = k / x, при k ≠ 0, буде гіпербола, гілки якої розташовані або в першому і третьому координатних кутах, при k> 0, або в другому і четвертому координатних кутах, при k<0.
Основні властивості функції y = k / x, при k> 0
Графік функції y = k / x, при k> 0
1. Точка (0; 0) центр симетрії гіперболи.
2. Осі координат - асимптоти гіперболи.
3. Пряма y = x вісь симетрії гіперболи.
4. Область визначення функції все х, крім х = 0.
5. y> 0 при x> 0; y6. Функція убуває як на проміжку (-∞; 0), так і на проміжку (0; + ∞).
7. Функція не обмежена ні знизу, ні зверху.
8. У функції немає ні найбільшого, ні найменшого значень.
9. Функція неперервна на проміжку (-∞; 0) і на проміжку (0; + ∞). Має розрив в точці х = 0.
10. Область значень функції два відкритих проміжку (-∞; 0) і (0; + ∞).
Основні властивості функції y = k / x, при k<0
Графік функції y = k / x, при k<0
1. Точка (0; 0) центр симетрії гіперболи.
2. Осі координат - асимптоти гіперболи.
3. Пряма y = -x вісь симетрії гіперболи.
4. Область визначення функції все х, крім х = 0.
6. Функція зростає як на проміжку (-∞; 0), так і на проміжку (0; + ∞).
7. Функція не обмежена ні знизу, ні зверху.
8. У функції немає ні найбільшого, ні найменшого значень.
9. Функція неперервна на проміжку (-∞; 0) і на проміжку (0; + ∞). Має розрив в точці х = 0.
10. Область значень функції два відкритих проміжку (-∞; 0) і (0; + ∞).