Для зменшення випадкових похибок фізичну величину (справжнє значення якої нам невідоме. Позначимо) вимірюють раз. Результати окремих вимірювань представляють собою набір незалежних випадкових величин, значення яких розподілені близько. Поведінка випадкових величин описують статистичні закономірності, вивчення яких є предметом теорії ймовірності та математичної статистики. При великому числі вимірювань випадкові похибки підкоряються нормальному розподілу (розподілу Гаусса) (див. Частина 3 цього посібника). У математичній статистиці доводиться, що найбільш близьким до істинного значення вимірюваної величини є середнє арифметичне значення:
Однак навіть при може відрізнятися від. Різниця () є випадковою величиною, тому точно визначити її не можна. Але, користуючись методами математичної статистики, можна з певними інтервалами. в якому з деякою заданою вірогідністю знаходиться істинне значення вимірюваної величини.
Інтервалназивается довірчим інтервалом. Велічінуназивают довірчої випадкової похибкою результату вимірювань. Вероятностьтого, що значення шуканої величини потрапить в зазначений довірчий інтервал, називається довірчою ймовірністю, або надійністю.
Для оцінки випадкової похибки існує кілька способів. Найбільш поширеним є оцінка за допомогою середньоквадратичної похибки. яка визначається за формулою:
де - абсолютні похибки окремих вимірювань.
Англійський математик У. Госсет, який публікував свої роботи під псевдонімом Стьюдент, показав, що при числі вимірювань істинне значення вимірюваної величини c заданою довірчою ймовірністю лежить в межах. якщо величина випадкової похибки пов'язана зі середньоквадратичної похибкою співвідношенням:
де коефіцієнт, званий коефіцієнтом Стьюдента. Цей коефіцієнт залежить від заданої довірчої ймовірності і числа вимірювань. Коефіцієнти Стьюдента обчислені і протабулювати (див. Додаток, табл. 1).
Вибір довірчої ймовірності залежить від завдань, що вирішуються експериментатором. Як правило, в лабораторному практикумі рекомендується визначати межі довірчого інтервалу при = 0,9.
Таким чином, провівши кінцеве число вимірювань і визначивши середньоквадратичнепомилку похибка. можна вказати кордону випадкової похибки з заданою вірогідністю.
1.3. Облік систематичних (приладових) похибок
при прямих вимірах
Показання будь-якого приладу, навіть самого точного і досконалого, завжди відрізняються від фактичного значення вимірюваної величини. Ця відмінність характеризується приладової похибкою.
Приладові похибки, незважаючи на те, що є систематичними, за своїми властивостями близькі до властивостей випадкових похибок: невідомо точно, чому вони рівні і в який бік спотворюють вимірювану величину.
Для оцінки систематичної приладової похибки також застосовують методи математичної статистики, за допомогою яких показано, що
Тут - приладова похибка, відповідна обраної довірчої ймовірності; коефіцієнт Стьюдента при обраної довірчої ймовірності і числі вимірювань;
- максимальна приладова похибка.
Величина максимальної приладової похибки залежить від того, яким приладом проводяться вимірювання.
1) Якщо при вимірах використовуються стрілочні прилади електровимірювань, для яких вказаний клас точності. то
де найбільше значення, яке може бути виміряна за шкалою приладу; клас точності приладу (він вказаний на приладі і може мати значення 0,05; 0,1; 0,2; ... 4).
2) Якщо при вимірах використовуються цифрові прилади, то максимальна приладова похибка зазвичай вказується в паспорті приладу.
3) Якщо при вимірах використовується прилад, у якого клас точності невідомий або прилад не має класу точності (наприклад, вимірювальна лінійка, секундомір, термометр і ін.), Максимальну приладову погрешностьпрінімают рівній ціні найменшого ділення його шкали.
Прімечаніе.В більшості реальних завдань лабораторного практикуму, коли значення довірчої ймовірності, похибка вимірювального приладу можна прийняти рівною
.
1.4. Спільний облік випадкових і систематичних (приладових)
похибок
Наявність приладової похибки зменшує вірогідність результатів вимірювання, тобто реальна довірча ймовірність отриманих результатів виявляється менше, ніж в разі, якби вимірювання проводилися ідеальним приладом, які не мають похибок.
В цьому випадку для компенсації втрати довірчої ймовірності збільшують довірчий інтервал, вважаючи, що істинне значення вимірюваної величини лежить в межах:
,
Величину називають абсолютною похибкою вимірювань.
Абсолютна похибка визначає межі довірчого інтервалу близько. в межах якого із заданою надійністю (заданою довірчою ймовірністю) знаходиться істинне значення вимірюваної величини.
Методами математичної статистики при обліку майже випадкового характеру приладової похибки для абсолютної похибки прямого виміру отримано вираз:
1.5. Послідовність дій при обробці результатів
багаторазових прямих вимірювань
При математичній обробці результатів багаторазових прямих вимірювань рекомендується дотримуватися таку послідовність дій.
1) Використовуючи результати прямих вимірювань шуканої величини -. обчислити середнє арифметичне значення:
2) Знайти абсолютні похибки окремих вимірів:
3) Обчислити середньоквадратичне похибка вимірювань:
4) Поставити значення довірчої ймовірності і по таблиці (див. Додаток) визначити значення коефіцієнта Ст'юдента для заданої ймовірності та числа проведених вимірювань.
5) Обчислити випадкову похибку вимірювань:
6) Оцінити похибка, дану вимірювальним приладом:
Прімечаніе.Еслі у приладу вказаний клас точності максимальна приладова похибка, то необхідно скористатися рекомендаціями, викладеними в 1.3.
7) Обчислити абсолютну похибку результату вимірювань:
8) Обчислити відносну похибку:
9) Остаточний результат записати у вигляді:
.
вказати довірчу ймовірність і відносну похибку.
Приклад обробки результатів